[論文レビュー] Stochastic programs without duality gaps for objectives without a lower bound

Ari-Pekka Perkkiö|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、目的関数に下界が要求されない stochastic 最適化問題において、解の存在と双対ギャップの不在を、局所 martingale 技術と再発関数解析を用いて確立する。主な貢献は、先行する双対ギャップ結果における有界性仮定の緩和であり、これにより金融最適化における非有界効用関数の最大化への応用が可能になる。

ABSTRACT

This paper studies parameterized stochastic optimization problems in finite discrete time that arise in many applications in operations research and mathematical finance. We prove the existence of solutions and the absence of a duality gap under conditions that relax the boundedness assumption made by Pennanen and Perkkiö in [Stochastic programs without duality gaps, Math. Program., 136(1):91--110,2012]. We apply the result to a utility maximization problem with an unbounded utility.

研究の動機と目的

• 目的関数に下界が要求されない stochastic 最適化における双対ギャップ結果を拡張すること。
• より弱い可積分性および凸性条件の下で最適値関数の閉包性と適切性を確立すること。
• 非有界効用関数を有する liquid な金融市場における効用最大化の存在結果を回復および一般化すること。
• 非線形取引コストを有する illiquid 市場に適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• Rockafellar の共役双対性フレームワークを用いて、値関数とその再発関数を分析する。
• 特に効用最大化の文脈において、非有界な積分被関数を取り扱うために局所 martingale 技術を適用する。
• 可測な正規被積分関数構造に依拠して、$L^0$ における値関数の閉包性を確立する。
• 最適値関数の再発関数を被積分関数 $f^\infty$ の再発関数の観点から表現する。
• 値関数の閉包性を保証するため、再発錐 $\mathcal{L} = \{x \in \mathcal{N} \mid f^\infty(x,0) \leq 0\}$ に条件を課す。
• 対角線法と Fatou の補題を用いて、価格および初期財産が有界であるという仮定の下で、martingale 測度密度に収束する双対変数の列を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 目的関数に下界が仮定されない stochastic プログラミングにおいて、双対ギャップを排除できるか？
• RQ2 下界からの有界性がなくても、$L^0$ における最適値関数が閉包的かつ適切であるための条件は何か？
• RQ3 最適値関数の再発関数は、被積分関数の再発関数をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 非有界効用関数を有する liquid 市場における効用最大化問題に、結果を拡張できるか？
• RQ5 非線形取引コストを有する illiquid 市場モデルにおける解の存在を保証するための条件は何か？

主な発見

• 最適値関数 $\varphi(u) = \inf_{x \in \mathcal{N}} E f(x,u)$ は、可積分な下界の存在と線形再発錐 $\mathcal{L}$ の下で、$L^0$ において閉包的かつ適切である。
• 双対ギャップは存在せず、$f$ が下界を持たない場合でも、任意の $u \in L^0$ に対して下界が達成される。
• 最適値関数の再発関数は $\varphi^\infty(u) = \inf_{x \in \mathcal{N}} E f^\infty(x,u)$ を満たし、これは新たな特徴付けを提供する。
• 価格過程および初期財産が $L^\infty$ に有界である限り、本稿は Rásonyi と Stettner (2015) の存在結果を、漸近的弾性条件を要件としない形で回復する。
• 正の martingale 測度密度に収束する双対変数の列が構成され、これにより双対解の存在が保証される。
• 本フレームワークは、非線形コストを有する illiquid 市場へと拡張可能であり、今後の研究で一般化が予定されている。