[論文レビュー] Streaming Algorithms for Submodular Function Maximization

Chandra Chekuri, Shalmoli Gupta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、空間効率的な近似を用いた、反復的グリーディフレームワークを用いた、p-マッチォイド制約下での非単調なサブモジュラ関数の最大化のストリーミングアルゴリズムを提示する。$O(k\log k)$の空間を用いて$\Omega(1/p)$-近似が達成可能であり、独立集合問題のオフラインアルゴリズムと組み合わせることで、より良い上限が得られる。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing a nonnegative submodular set function $f:2^{\mathcal{N}} ightarrow \mathbb{R}^+$ subject to a $p$-matchoid constraint in the single-pass streaming setting. Previous work in this context has considered streaming algorithms for modular functions and monotone submodular functions. The main result is for submodular functions that are {\em non-monotone}. We describe deterministic and randomized algorithms that obtain a $Ω(\frac{1}{p})$-approximation using $O(k \log k)$-space, where $k$ is an upper bound on the cardinality of the desired set. The model assumes value oracle access to $f$ and membership oracles for the matroids defining the $p$-matchoid constraint.

研究の動機と目的

• 限られたメモリでの1パスストリーミングモデルにおいて、非単調サブモジュラ関数の最大化という課題に対処する。
• p-マッチォイド制約下で、定数の近似比を維持する空間効率的なアルゴリズムを設計する。これは、基数制約やマトロイド制約の一般化である。
• 従来の研究が単調サブモジュラ関数に限定されていたのを克服し、非単調ケースのためのフレームワークを導入する。
• 非単調サブモジュラ最大化に対して、$O(k\log k)$の空間と$\Omega(1/p)$-近似を達成する決定的および確率的ストリーミングアルゴリズムを実現する。
• オフラインアルゴリズムをブラックボックスとして統合し、特にオフラインアルゴリズムの近似比$\gamma_p$が既知の場合に近似保証を向上させる。

提案手法

• 全ストリームに対してパラメータ$\alpha$と$\beta$を用いてStreaming-Greedyを実行し、その後に拒否された要素に対しても再び実行する2パスストリーミングアルゴリズム、Iterated-Streaming-Greedyを提案する。
• サブモジュラ関数$f$の値オракルと、p-マッチォイド制約のメンバーーシップオラクルを用い、解のサイズに上限$k$を設定する。
• パラメータ$\alpha$と$\beta$を用いた確率的ストリーミンググリーディアルゴリズム（Streaming-Greedy）を適用し、集合$S_1$を選択し、拒否された要素を$U_1$として追跡する。
• 再び$\alpha = 0$で$\mathcal{N} \setminus U_1$に対してStreaming-Greedyの2回目の実行を行い、$S_2$を取得する。これにより、拒否された要素が失われないことを保証する。
• 拒否された要素$U_1$に対してオフラインアルゴリズムを適用し、$|U_1| \leq \mathrm{OPT}/\alpha$であることを利用して、入力サイズを小さく保つ。
• 最終的な解として、$S_1$、$S_2$、$S_3$のうち最も良いものを返し、サブモジュラリティと集中不等式に基づいた理論的保証を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-マッチォイド制約下で、非単調サブモジュラ関数最大化のストリーミングアルゴリズムを設計し、定数の近似比を達成できるか？
• RQ2 限られたメモリの1パスストリーミングモデルにおいて、サブモジュラ関数の非単調性を効率的に処理する方法は何か？
• RQ3 一般のp-マッチォイド制約下でのストリーミングサブモジュラ最大化において、空間使用量と近似比のトレードオフは何か？
• RQ4 拒否された要素に対してストリーミンググリーディアルゴリズムとオフライン最適化を組み合わせることで、近似保証を向上させられるか？
• RQ5 ストリーミングフレームワークにおける近似品質と空間効率のバランスを取るために、パラメータ$\alpha$と$\beta$の最適な選択は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、p-マッチォイド制約下で非単調サブモジュラ最大化に対して$O(k\log k)$の空間を用いて$\Omega(1/p)$-近似を達成する。
• オフラインアルゴリズムの近似比が$\gamma_p$である場合、全体の期待近似比は任意の$\epsilon > 0$に対して$\left(8p + \frac{1}{\gamma_p}\right)^{-1}(1 - \epsilon)\mathrm{OPT}$以上である。
• アルゴリズムは$O\left(\frac{k\log k}{\epsilon}\right)$の空間を使用しており、ストリーミング設定において効率的かつほぼ最適である。
• オフラインアルゴリズムが決定的であれば、フレームワークも決定的となり、その場合近似保証は期待値をとらずに成立する。
• $|U_1|$が$\mathrm{OPT}/\alpha$を超えた際に早期終了を実行することで、パラメータの推定を効率的に行える。これにより実用的導入が可能になる。
• 解析はサブモジュラリティと限界利得の境界に依存しており、特にサブモジュラリティの性質とp-マッチォイドの構造に基づいた重要な不等式が導出される。