[論文レビュー] Strictly nef divisors and some remarks on a conjecture of Serrano

Priyankur Chaudhuri|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般型の多様体上への滑らかなファノ・ファイブレーションについて、一般化された豊富性を確立し、SHGH予想のもとで、ほぼ厳密にネフなラインバンドルを持つ曲面上におけるSerrano予想の一般化を証明する。また、SHGH予想のもとで、有理曲面上に厳密にネフだが非常にampleでない因子が存在することを示し、代数幾何における厳密にネフ因子の理解を深める新しい例を提供する。

ABSTRACT

Serrrano's Conjecture says that if $L$ is a strictly nef line bundle on a smooth projective variety $X$, then $K_X+tL$ is ample for $ t > dim X+1$. In this paper I will prove a few cases of this conjecture. I will also prove a generalized version of this conjecture (due to Campana, Chen and Peternell) for surfaces. In the last section, assuming the SHGH conjecture, I will give a series of examples of strictly nef non ample divisors on surfaces of arbitary Kodaira dimension.

研究の動機と目的

• 一般型多様体上への滑らかなファノ・ファイブレーションについて、既知の厳密にネフ因子に関する結果を拡張して、一般化された豊富性を証明すること。
• ほぼ厳密にネフなラインバンドルを持つ曲面について、Serrano予想の一般化形を検証すること。
• SHGH予想が有理曲面上に厳密にネフだが非常にampleでない因子の存在を示すこと。
• さまざまな幾何的設定において、厳密にネフな $ L $ に対する随伴因子 $ K_X + tL $ の非常大性および非常にample性を調査すること。
• SHGH予想のもとで、$ \mathbb{P}^2 $ の吹き上げを用いた構成により、厳密にネフだが非常にampleでない因子の新しい例を提供すること。

提案手法

• $ X $ が滑らかで $ L $ が厳密にネフであるとき、$ K_X + tL $ が $ t > d+1 $ で厳密にネフであることを、錐定理を用いて示す。
• Lemma 7 の数値的基準を適用し、$ K_X^d = \cdots = L^d = 0 $ のとき、半非常大性の失敗を検出する。
• 不定性の解消と伊達のファイブレーションを用いて、滑らかなモデルへの引き戻しを通じて $ K_X + tL $ の非常大性を分析する。
• SHGH予想を適用し、$ \mathbb{P}^2 $ の吹き上げ上の線形系統の期待次元を計算し、交差数の正の性質を保証する。
• $ S $ から $ \mathbb{P}^2 $ への有限被覆の引き戻しを用いて、$ \mathbb{P}^2 $ の吹き上げ上の厳密にネフ因子を引き戻すことで、厳密にネフだが非常にampleでない因子を構成する。
• SHGH予想が定める球面内ですべての曲線 $ C $ について $ L \cdot C > 0 $ が成り立つことを利用し、厳密にネフ性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型多様体上への滑らかなファノ・ファイブレーションについて、一般化された豊富性は成り立つか？
• RQ2 $ L $ が曲面 $ S $ 上でほぼ厳密にネフであるとき、すべての $ t > 3 $ に対して $ K_S + tL $ は非常大か？
• RQ3 SHGH予想は、有理曲面上に厳密にネフだが非常にampleでない因子の存在を示唆するか？
• RQ4 曲面に存在する厳密にネフ因子 $ L $ が、どのような条件下で必ず非常大か？
• RQ5 $ \kappa(aK_X + bL) \geq \dim X - 2 $ のとき、$ t \gg 0 $ に対して随伴因子 $ K_X + tL $ が非常大であることを示せるか？

主な発見

• 一般型多様体上への滑らかなファノ・ファイブレーションについて、一般化された豊富性が成り立つ：$ -K_X $ がファイバー上で非常にampleで、$ Y $ が一般型であれば、$ L $ と $ K_X + L $ がネフであるとき、$ K_X + L $ は半非常大である。
• ほぼ厳密にネフなラインバンドル $ L $ を持つ滑らかな射影的曲面 $ S $ に対して、すべての $ t > 3 $ に対して $ K_S + tL $ は非常大であり、これはGorenstein特異点を持つ曲面へも拡張可能である。
• SHGH予想のもとで、任意の射影的曲面 $ S $ に対して、$ S $ に双有理な曲面 $ S' $ が存在し、その上で厳密にネフだが非常にampleでない因子が存在する。
• $ \kappa(L) \geq \dim X - 2 $ であれば、$ L $ は非常大であり、これは厳密にネフ因子の非常大性に対する数値的基準を提供する。
• 任意の滑らかな射影的多様体 $ X $ に対して、$ \kappa(aK_X + bL) \geq \dim X - 2 $ であれば、すべての $ t \gg 0 $ に対して $ K_X + tL $ は非常大である。
• 厳密にネフだが非常にampleでない因子の構成は、SHGH予想によって保証される。$ \mathbb{P}^2 $ の吹き上げ上の線形系統の期待次元が非負であることを保証し、曲線との交差数の正の性質を保証する。