[論文レビュー] String cohomology of Calabi-Yau hypersurfaces via Mirror Symmetry

Lev Borisov, Anvar R. Mavlyutov|ArXiv.org|Sep 15, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双対的自己双対性を持つ反射的多面体を用いて、トーリック多様体内のカーボリ・ヤウ超曲面のストリングコホモロジー空間を鏡対称的に構成する。複素構造パラメータ ω でパrameter化された有限族のコホモロジー空間を定義し、特異点がオルビフォールドである場合にチエン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジーを回復し、バチレーヴのストリング理論的ホッジ数と一致させることで、ミラー対称性および頂点代数構造と整合するストリングコホモロジーの幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

We propose a construction of string cohomology spaces for Calabi-Yau hypersurfaces that arise in Batyrev's mirror symmetry construction. The spaces are defined explicitly in terms of the corresponding reflexive polyhedra in a mirror-symmetric manner. We draw connections with other approaches to the string cohomology, in particular with the work of Chen and Ruan.

研究の動機と目的

• トーリック多様体内のカーボリ・ヤウ超曲面のストリングコホモロジー空間を、幾何的かつ鏡対称的に定義すること。
• 特異点がオルビフォールドである場合に、バチレーヴのストリング理論的ホッジ数とチエン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジーを統合すること。
• 滑らかまたはオルビフォールドでない場合に、Q-ゴレンシュタインのトーリック特異点を持つ分離多様体へストリングコホモロジーの概念を拡張すること。
• ストリングコホモロジー空間上に、既知の滑らかな超曲面の結果と整合するBモデルのチャーラル環の候補を提供すること。
• 格子フォック空間と微分作用素を通じて、ストリングコホモロジーと頂点代数構成との関係を確立すること。

提案手法

• 反射的多面体とその双対を用いて、複素パラメータ ω でパrameter化された鏡対称的なストリングコホモロジー空間を定義する。
• 各多面体の面 C に対応する、部分多様体の閉包の交差コホモロジーと、モジュール R_k(f,C) を用いてコホモロジー成分を構築する。
• コホモロジー空間は、多面体の各面 C についての直和として実現される：H = ⨁_C Λ^{dim C*} C*_C ⊗ R_1(f,C) ⊗ R_1(g,C*) ここで g は鏡多項式である。
• 外微分形式 Λ^* N_C と C[L] を含む複体に微分 D を定義し、そのコホモロジーがストリングコホモロジーを与える。D は頂点代数の微分 D_{f,g} と関連している。
• 面のオイラー的ポセット上での G-多項式と H-多項式を用いて、ホッジ＝デリーニュ数を計算し、双対性の性質を検証する。
• この方法により、ビグレード次元がバチレーヴのストリング理論的ホッジ数と一致し、オルビフォールドの場合にチエン＝ルアンコホモロジーが回復されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーボリ・ヤウ超曲面のストリングコホモロジー空間を、反射的多面体を用いて鏡対称的に明示的に構成する方法は何か？
• RQ2 提案された構成は、超曲面にオルビフォールド特異点しか持たない場合に、チエン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジーを回復するか？
• RQ3 ストリングコホモロジー空間に、クレパント解体と量子コホモロジーと整合する自然な環構造を導入できるか？
• RQ4 パrameter ω は構成において果たす役割は何か？また、ミラー複素化されたカーラークラスとどのように関係するか？
• RQ5 ストリングコホモロジーはBモデルのチャーラル環およびN=2 SCFTにおける頂点代数構成とどのように関係するか？

主な発見

• ストリングコホモロジー空間は、ω でパrameter化された有限次元族として構成され、ビグレード次元がバチレーヴのストリング理論的ホッジ数と一致する。
• オルビフォールド特異点のみを有するカーボリ・ヤウ超曲面に対して、ω が鏡多項式に対応する場合に、チエン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジーが特別な場合として回復される。
• コホモロジー空間は、双対格子の外積とモジュール R_k(f,C) を含む複体のコホモロジーとして実現され、微分 D は縮約と乗法によって定義される。
• ストリングコホモロジー空間のビグレード次元は、反射的多面体の面ポセット上での G-多項式と H-多項式を用いて計算され、双対性およびオイラー的性質が検証される。
• 滑らかなカーボリ・ヤウ超曲面に対して、M2で定義されたBモデルのチャーラル環と整合する。半準正則超曲面の期待される次元とも一致する。
• この方法は、ストリングコホモロジー空間に自然な環構造を導く可能性を示唆し、チエン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジー環のテストとして有用である可能性がある。