[論文レビュー] String Diagrams For Double Categories and Equipments

David Jaz Myers|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は二重圏および装備のためのストリング図計算を導入し、図式的推論を用いて同伴および共伴に関する基礎的結果を確立する。同伴が湾曲と可換な一意的な同型に関して一意的であることを証明し、ストリング図計算における zig-zag 恒等式および kink 恒等式を用いて、同伴、共伴、および随伴が互いに定義可能であることを示す。

ABSTRACT

A popular graphical calculus for monoidal categories makes computations tactile and intuitive. Complicated diagram chases can be expressed in a few pictures and discovered by playing with a shoelace. Joyal and Street's proof of the soundness of this calculus says that any deformation of a diagram, any bending of the strings, describes the same morphism. In this paper, we extend the graphical calculus to double categories and proarrow equipments in order to bring the string diagrammatic method to formal category theory. Our main theorem proves this calculus sound with the help of Dawson and Pare's results on composition in double categories.

研究の動機と目的

• 二重圏および装備のための整合的なストリング図計算を開発すること。
• プロアロウ 2-圏における同伴、共伴、および随伴の関係を形式化すること。
• 同伴が湾曲と可換な同型に関して一意的であることを証明すること。
• プロアロウ圏における同伴／共伴構造と左随伴の間の同値性を確立すること。
• kink 操作および湾曲操作を用いたストリング図計算による zig-zag 恒等式の図式的証明を提供すること。

提案手法

• ストリング図を用いて二重圏における 1-射、2-セル、およびそれらの合成を表現する。
• 湾曲操作を適用して随伴から単位および余単位を定義する。
• kink 恒等式を用いて、同伴間の同型が湾曲と可換であることを検証する。
• ストリング図計算においてストリングをまっすぐに引くことで zig-zag（三角形）恒等式を適用する。
• 随伴の kink 恒等式を用いて、構成されたセルが必要な公理を満たしていることを検証する。
• 図式的双対性を通じて同伴構造が左随伴から自然に生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリング図を用いて、二重圏における同伴および共伴についてどのように推論できるか。
• RQ2 与えられた射の同伴が、その湾曲を尊重する形で同型であるための条件は何か。
• RQ3 プロアロウ 2-圏において、同伴、共伴、および左随伴はどの程度互いに定義可能か。
• RQ4 kink 恒等式と zig-zag 恒等式は、随伴性の図式的証明においてどのように作用するか。
• RQ5 同型が、一貫性構造に関して同伴の一意性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 射の同伴は、その湾曲と可換な一意的な同型に関して一意的である。
• 二つの同伴間の同型がその湾曲と可換であるための必要十分条件は、それが kink 恒等式を満たすことである。
• 射が同伴と共伴を両方持つならば、それはプロアロウ 2-圏における左随伴である。
• 逆に、射が左随伴であるならば、その右随伴は共伴および同伴構造を実現する。
• 随伴の zig-zag 恒等式は、ストリング図計算においてストリングをまっすぐに引くことから直接導かれる。
• 随伴の kink 恒等式により、同伴間の同型が湾曲と可換であることが保証される。