[論文レビュー] String Theory and Quantum Spin Networks

Aleksandar Miković|ArXiv.org|Jul 15, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子スピンネットワークとトポロジカル場理論を用いて、曲がった時空における弦理論の定式化を提案する。この定式化では、2次元BF理論と量子群から導かれるスピンネットワーク不変量を用いて、弦散乱振幅が定義される。主な結果として、時空が群計量を備える場合、これらの振幅は適切に定義され、トポロジカルであることが示され、明示的な計算により、SU(2)の背景に対しては、トポロジカル弦理論の振幅と一致することが判明した。

ABSTRACT

We propose an approach to formulating string theory in a curved spacetime, which is based on the connection between the states of the WZW model for the isometry group of a background spacetime metric and the representations of the corresponding quantum group. In this approach the string states scattering amplitudes are defined by certain evaluations of the theta spin networks for the associated quantum group. We examine the evaluations given by the spin network invariants defined by the spin foam state sum model associated to the two-dimensional BF theory for the background isometry group. We show that the corresponding string amplitudes are well defined if the spacetime manifold is compact and admits a group metric. We compute the simplest scattering amplitudes in the case of the SU(2) background isometry group, and we provide arguments that these are the amplitudes of a topological string theory.

研究の動機と目的

• 平坦または非コンパクトな背景を超えて、曲がった時空における弦理論の定式化を達成すること。
• 等長群上のWZW模型の状態と、弦の振幅を定義するための量子群表現との関係を確立すること。
• 弦散乱振幅が、2次元BF理論のスピン泡沫状態和モデルから導かれる可能性を示すこと。
• 得られる振幅がトポロジカルであり、トポロジカル弦理論に対応することを確立すること。

提案手法

• Lie群GのWZW模型の状態と、Gに付随する量子群の表現との間の対応関係を用いる。
• 弦散乱振幅を、θₙスピンネットワーク不変量の群共変線形結合として定義する。
• 等長群Gの2次元BF理論に基づく状態和モデルを用いて、スピンネットワーク不変量を構成する。
• 量子群表現を用いて状態和を評価し、パチェル・移動の不変性によってトポロジカル不変性を保証する。
• インタウィナーのデルタ関数型評価を維持するように、θₙ頂点振幅を再スケーリングする。
• スピンネットワークにおけるθₙエッジの数と頂点移動に関する帰納法を用いて、状態和全体のトポロジカル不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンネットワークとトポロジカル量子場理論を用いて、曲がった時空における弦散乱振幅を一貫して定義できるか？
• RQ2 この文脈において、等長群上のWZW模型の状態と量子群表現との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 得られる振幅はトポロジカル移動に対して不変であるか。これはトポロジカル弦理論を示唆するか？
• RQ4 2次元BF理論の状態和モデルは、これらの振幅を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 特定の等長群（例：SU(2)）に対して、明示的な振幅を計算できるか。また、それらは既知のトポロジカル弦理論の振幅と一致するか？

主な発見

• 時空多様体がコンパクトで、群計量を備える場合、弦散乱振幅は適切に定義され、一貫した背景幾何の存在を保証する。
• SU(2)の背景等長群に対しては、最も単純な散乱振幅が明示的に計算され、トポロジカル弦理論の構造と一致することが示された。
• 振幅は、2次元BF理論の状態和モデルを介して評価されたθₙスピンネットワーク不変量から構成され、それがトポロジカル不変であることが証明された。
• 状態和はパチェル移動（θₙエッジを含む領域に対しても）に対して不変であり、頂点振幅の再スケーリングによってインタウィナーのデルタ関数型収縮が維持されるためである。
• スピンネットワークの評価は、量子次元Δᵢの積によって再スケーリングされ、トポロジカル不変性が保証される。この再スケーリングは一貫性にとって不可欠である。
• 本モデルは、量子群の不変量とBF理論を介して定義された振幅を有する、曲がった時空におけるトポロジカル弦理論の明確な実現を提供する。