[論文レビュー] Stringy Chern classes of singular varieties

Tommaso de Fernex, Ernesto Lupercio+2 more|ArXiv.org|Jul 18, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、モチーフ的積分とMacPhersonの変換を用いて、特異な複素多様体のためのストリング的チャーン類を導入し、特異空間へのチャーン類の一般化である、被約的不変なクラスを提供する。主な結果は、Gorenstein商多様体 $X = M/G$ のストリング的チャーン類について、固定点集合 $M^g/C(g)$ のチャーン＝シュワルツ＝マクファーソン類を用いた明示的公式を確立し、オルビフォールド不変量との直接的な関係を示している。

ABSTRACT

Motivic integration and MacPherson's transformation are combined in this paper to construct a theory of "stringy" Chern classes for singular varieties. These classes enjoy strong birational invariance properties, and their definition encodes data coming from resolution of singularities. The singularities allowed in the theory are those typical of the minimal model program; examples are given by quotients of manifolds by finite groups. For the latter an explicit formula is proven, assuming that the canonical line bundle of the manifold descends to the quotient. This gives an expression of the stringy Chern class of the quotient in terms of Chern-Schwartz-MacPherson classes of the fixed-point set data.

研究の動機と目的

• 特異な複素多様体に、log-terminal特異点をもつ被約的不変なチャーン類を定義すること。
• モチーフ的積分を用いて解体データを統合することで、チャーン＝シュワルツ＝マクファーソン類を特異空間へ拡張すること。
• 有限群による多様体のGorenstein商 $X = M/G$ のストリング的チャーン類について明示的公式を提供すること。
• ストリング的チャーン類とオルビフォールド不変量（例：オルビフォールドオイラー次元）との関係を確立すること。

提案手法

• 解体 $f: Y \to X$ の弧空間上のモチーフ的積分を用いて、相対 canonical $\mathbb{Q}$-有理被約 $K_{Y/X}$ の位数で重み付けされた、有理数値の区分的関数 $\Phi_X$ を構成する。
• ストリング的チャーン類を $c_{\text{str}}(X) := c(\Phi_X)$ と定義する。ここで $c$ は区分的関数からチャウホモロジーへのMacPhersonの自然変換である。
• モチーフ的積分における変数変換公式を用いて、$\Phi_X$ およびしたがって $c_{\text{str}}(X)$ の被約的不変性を保証する。
• 商多様体 $X = M/G$ に対して、$G$ の共役類の和として $\Phi_X$ を表現し、スタック $[M/G]$ 上の定数関数のオルビフォールドプッシュフォワードを用いる。
• マクファーソン変換を適用して、$\widetilde{c}_{\text{str}}(X) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} (\pi_g)_* c_{\text{SM}}(M^g / C(g))$ という公式を導出する。ここで $C(g)$ は $g$ の中心化部分群である。
• 次数写像を用いて、ストリング的オイラー次元 $e_{\text{str}}(X)$ がオルビフォールドオイラー次元 $e(M,G) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} e_c(M^g / C(g))$ と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチーフ的積分とMacPhersonの変換を用いて、log-terminal特異点をもつ特異多様体に対して被約的不変なチャーン類を定義できるか？
• RQ2 商多様体 $X = M/G$ のストリング的チャーン類は、多様体 $M$ 上の群作用の固定点データとどのように関係するか？
• RQ3 ストリング的チャーン類は、オルビフォールドオイラー次元のような既知のオルビフォールド不変量を回復するか？
• RQ4 ストリング的チャーン類は解体の選び方に依存しないか？ そして、モチーフ的積分がその独立性をどのように保証するか？
• RQ5 ストリング的チャーン類は、商固定点集合のチャーン＝シュワルツ＝マクファーソン類のプッシュフォワードの和として表現できるか？

主な発見

• ストリング的チャーン類 $c_{\text{str}}(X)$ は望ましい被約的不変性を満たす：$X$ と $X'$ が $K$-同値であれば、ある共通解体上のクラス $C$ に対して $c_{\text{str}}(X) = f_* C = f'_* C$ が成り立つ。
• 正則な商 $X = M/G$ で canonical bundle が降下する場合、ストリング的チャーン類は $\widetilde{c}_{\text{str}}(X) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} (\pi_g)_* c_{\text{SM}}(M^g / C(g))$ で与えられる。ここで $\mathcal{C}(G)$ は $G$ の共役類の集合である。
• 変数変換公式により、$\Phi_X$ は解体の選び方に依存しない。
• ストリング的チャーン類は、ジョイスが定義した $[M/G]$ 上の定数関数のオルビフォールドプッシュフォワードと一致する。
• ストリング的オイラー次元 $e_{\text{str}}(X)$ はオルビフォールドオイラー次元 $e(M,G) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} e_c(M^g / C(g))$ と等しく、バチレフの結果と整合することが確認された。
• 本構成により、特異多様体に対する古典的チャーン＝シュワルツ＝マクファーソン類を拡張する、明示的かつ被約的不変なチャーン類の定義が得られた。