[論文レビュー] Strominger connection and pluriclosed metrics

Quanting Zhao, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、曲率がカーラーに類似した対称性を満たすストロミンジャー（ビスマウト）接続を持つコンパクトなヘルミート多様体が、必ず擬複形式的計量を持つことを証明している。主な結果は、ストロミンジャーのカーラーに類似した条件が、計量が擬複形式的であることと、接続に関してねじれテンソルが平行であることと同値であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we prove a conjecture raised by Angella, Otal, Ugarte, and Villacampa recently, which states that if the Strominger connection (also known as Bismut connection) of a compact Hermitian manifold is Kähler-like, in the sense that its curvature tensor obeys all the symmetries of the curvature of a Kähler manifold, then the metric must be pluriclosed. What we actually showed is a bit more: for any given Hermitian manifold, the Strominger Kähler-like condition is equivalent to the pluriclosedness of the metric plus the parallelness of the torsion.

研究の動機と目的

• アンゲラ、オタル、ウガルテ、ヴィヤカンパが提起した、コンパクトなヘルミート多様体におけるストロミンジャーのカーラーに類似した条件に関する予想を解決すること。
• ストロミンジャー接続がカーラーに類似した対称性を示すために必要な幾何的および曲率的条件を明確にすること。
• ストロミンジャー接続の曲率が完全なカーラー曲率の対称性を満たすときの正確な特徴付けを確立すること。
• 非ケーラー的ヘルミート幾何における、擬複形式的計量、ねじれの平行性、およびカーラーに類似した条件の間の相互作用を調査すること。
• ストロミンジャーのカーラーに類似した多様体におけるガウディュシュォン型条件とコhomological障害の理解を拡張すること。

提案手法

• 全ねじれが歪対称である一意なヘルミート接続として定義されるストロミンジャー（ビスマウト）接続の使用。
• ストロミンジャー接続下での曲率恒等式およびバイアンキ型恒等式の導出により、カーラーに類似した対称性条件を分析する。
• 第一および第二バイアンキ恒等式の応用により、曲率の対称性を計量の擬複形式的性質およびねじれの平行性に関連付ける。
• 複素微分幾何の技法の使用、特に(1,0)および(0,1)接バンドルへの分解と複素曲率成分の取り扱い。
• ガウディュシュォン接続の枠組みと強力なガウディュシュォン条件の使用により、コhomological障害を導出する。
• 背理法による証明：非ケーラー的ストロミンジャーのカーラーに類似した計量が存在すると仮定すると、$\partial\overline{\partial}$-正確な形式を含む積分恒等式によりねじれが消える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘルミート多様体のストロミンジャー接続がいつカーラーに類似した性質を示すか？
• RQ2 ストロミンジャー接続のカーラーに類似した条件は、計量が擬複形式的であることとねじれが平行であることと同値か？
• RQ3 コンパクトな非ケーラー的ヘルミート多様体がストロミンジャーのカーラーに類似した計量を有することができるか？
• RQ4 ストロミンジャーのカーラーに類似した条件と、擬複形式的または強力なガウディュシュォン条件との関係は何か？
• RQ5 ストロミンジャーのカーラーに類似した多様体がケーラー的でない場合に生じるコhomological障害は何か？

主な発見

• ストロミンジャーのカーラーに類似した条件は、計量が擬複形式的であることと、ストロミンジャー接続に関してねじれテンソルが平行であることと同値である。
• 任意のストロミンジャーのカーラーに類似した計量は、必然的にガウディュシュォン的であり、$\partial\overline{\partial}(\omega^{n-1}) = 0$ を満たす。
• コンパクトなヘルミート多様体がストロミンジャーのカーラーに類似した性質を持ち、かつケーラー的でない場合、そのドルベールコhomology群 $H^{0,1}_{\overline{\partial}}(M)$ は非自明である。
• ストロミンジャーのカーラーに類似した条件下では、多様体がケーラー的でない限り、強力なガウディュシュォン計量は存在できない。
• $n \geq 3$ の場合、任意のストロミンジャーのカーラーに類似した計量は、$k$-ガウディュシュォン条件を満たす：すべての $1 \leq k \leq n-1$ に対して $\partial\overline{\partial}(\omega^k) \wedge \omega^{n-k-1} = 0$。
• 恒等式 $2|\eta|^2 - |T|^2 = 0$ が点毎に成り立ち、ねじれの平行性と組み合わせることで擬複形式的性質が示される。