[論文レビュー] Strong NP-Hardness of the Quantum Separability Problem

Sevag Gharibian|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子状態が可分集合から逆多項式距離に離れている場合でも、その状態が可分であるかどうかを決定することが依然としてNP困難であることを示すことにより、量子可分性問題の強いNP困難性を確立している。この結果は、CLIQUEおよびロバストな半定値計画可能性の還元を組み合わせることで得られ、以前のNP困難性結果が指数関数的に近い状態にしか適用されなかったのを拡張したものである。

ABSTRACT

Given the density matrix rho of a bipartite quantum state, the quantum separability problem asks whether rho is entangled or separable. In 2003, Gurvits showed that this problem is NP-hard if rho is located within an inverse exponential (with respect to dimension) distance from the border of the set of separable quantum states. In this paper, we extend this NP-hardness to an inverse polynomial distance from the separable set. The result follows from a simple combination of works by Gurvits, Ioannou, and Liu. We apply our result to show (1) an immediate lower bound on the maximum distance between a bound entangled state and the separable set (assuming P != NP), and (2) NP-hardness for the problem of determining whether a completely positive trace-preserving linear map is entanglement-breaking.

研究の動機と目的

• 入力状態が可分集合から逆多項式距離に離れている場合の量子可分性問題（QUSEP）の複雑性を解明すること。
• 有限精度計算の問題が顕著でない指数関数的に近い状態の領域を超えて、先行するQUSEPのNP困難性結果を強化すること。
• P ≠ NPを仮定したもとで、束縛もつれ状態と可分集合との間の最大ユークリッド距離に下界を確立すること。
• 完全正則トレース保存線形写像がもつれを遮断するかどうかを決定する問題がNP困難であることを証明すること。

提案手法

• Liuが確立したように、NP完全なCLIQUE問題からロバストな半定値計画可能性（RSDF）への多対一還元を利用する。
• RSDFから弱妥当性（WVALα）へのチューリング還元を適用し、これは凸集合を近似的に分離する超平面が存在するかをテストする。
• 特に可分状態の集合SM,Nに対して、弱妥当性と弱-membership（WMEMβ）の間の既知の同値性を用いる。
• 密度行列のブロッホベクトル表現を用いて、量子状態間のトレースノルム距離をそれらのブロッホベクトル間のユークリッド距離に結びつける。
• これらの還元を組み合わせることで、βがシステム次元の逆多項式である限り、WMEMβ(SM,N)がNP困難であることを示す。
• 補題8を用いて、密度行列のヒルベルト＝シュミットノルムとそれらのブロッホベクトルのユークリッドノルムとの関係を確立し、可分性境界の幾何的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力状態が可分集合から逆多項式距離に離れている場合、量子可分性問題は強くNP困難か？
• RQ2 P ≠ NPを仮定したもとで、束縛もつれ状態と可分集合との間の最大ユークリッド距離は何か？
• RQ3 量子チャネルがもつれを遮断するかどうかを決定する問題はNP困難か？
• RQ4 可分状態に対する弱-membership問題のNP困難性は、指数関数的に近い領域を超えて拡張可能か？
• RQ5 ロバストな半定値計画可能性は、量子状態分類の複雑性境界を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 入力状態が可分集合から逆多項式距離に離れている場合、量子可分性問題は強いNP困難性を有する。これは、Gurvitsが指数関数的に小さい距離にしか適用できなかった以前の結果を拡張したものである。
• P ≠ NPを仮定したもとで、束縛もつれ状態と可分集合との間の最大ユークリッド距離に即座に下界が確立される。
• 完全正則トレース保存線形写像がもつれを遮断するかどうかを決定する問題がNP困難であることが示された。
• 証明は、CLIQUE ≤m RSDF ≤m WVALα(SM,N) ≤T WMEMβ(SM,N) という還元の鎖に依拠しており、βはシステム次元の逆多項式である。
• 構築された状態のブロッホベクトルのノルムがO(√N)に属することを示し、ここでNは部分系の次元である。これは逆多項式距離の境界を支持する。
• この結果は、有限精度の入力でさえも、状態が可分性の境界にあまり近くない限り、可分状態ともつれ状態を区別することが計算的に困難であることを示唆する。