[論文レビュー] Strong-viscosity Solutions: Semilinear Parabolic PDEs and Path-dependent PDEs

Andrea Cosso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、摂動された方程式の古典的解の点付き極限として定義される強粘性解の概念を、半線形放物型PDEおよび経路に依存するPDEに対して導入する。両者に対して存在および一意性を確立し、確率的構成を避ける完全に解析的であるが、より広範な適用性を持つ、従来の粘性解の代替手法を提供する。

ABSTRACT

The aim of the present work is the introduction of a viscosity type solution, called strong-viscosity solution to distinguish it from the classical one, with the following peculiarities: it is a purely analytic object; it can be easily adapted to more general equations than classical partial differential equations. First, we introduce the notion of strong-viscosity solution for semilinear parabolic partial differential equations, defining it, in a few words, as the pointwise limit of classical solutions to perturbed semilinear parabolic partial differential equations; we compare it with the standard definition of viscosity solution. Afterwards, we extend the concept of strong-viscosity solution to the case of semilinear parabolic path-dependent partial differential equations, providing an existence and uniqueness result.

研究の動機と目的

• 確率的構成を避ける完全に解析的な新しい解のクラス、すなわち強粘性解を定義すること。
• 古典的解がしばしば存在しない経路に依存するPDEへ、粘性解の概念を拡張すること。
• 特に無限次元および経路に依存する設定において、一般化に適した枠組みを提供すること。
• 半線形放物型PDEおよび経路に依存するPDEの両者において、強粘性解の存在および一意性を確立すること。

提案手法

• 摂動された半線形放物型PDEの古典的上位解および下位解の点付き極限として、強粘性上位解および下位解を定義する。
• ヴァンishing粘性法にインspiredして、摂動された方程式の古典的解の点付き極限として強粘性解を定義する。
• 経路の関数型への拡張により、摂動および極限構成を経路に依存するPDEに適応する。
• L^q空間におけるコンパクトネスおよび収束の議論を用いて、近似解の収束を証明する。
• コンパクト集合上での関数列の点付き収束を確立するため、等連続性および逐次収束技術を用いる。
• 後向き確率微分方程式（BSDEs）および関数的 Itô 微積分の結果を用いて、経路に依存するケースを支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半線形放物型PDEに対して、古典的粘性解の確率的枠組みを避ける完全に解析的な解の概念を定義できるか？
• RQ2 標準的な定義が基礎的課題を抱える経路に依存するPDEに対して、粘性解の概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 経路に依存するPDEにおいて、強粘性解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 強粘性解は、摂動された方程式の古典的解による近似によって、どの程度構成可能か？
• RQ5 強粘性解の概念は、確率的弱解や確率的粘性解といった既存の概念とどのように比較できるか？

主な発見

• 強粘性解は、摂動された半線形放物型PDEの古典的解の点付き極限として定義され、粘性解の完全に解析的な代替手法を提供する。
• 近似および収束技術を用いて、半線形放物型PDEに対する強粘性解の存在および一意性が確立される。
• この枠組みは、適切な条件下で経路に依存するPDEへも成功裏に拡張され、新たな存在および一意性の結果が得られる。
• L^q空間（q ∈ [1, 2)）における近似列の収束が証明され、極限が適切に定義され、強粘性解の意味でPDEを満たすことが保証される。
• 一様リプシッツ条件および等連続性に依拠することで、収束する部分列の構成が可能となり、解への点付き収束が得られる。
• 確率的仮定を避けることで、古典的解が存在しない設定においても、直接的な解析的ルートで解に到達可能である。