[論文レビュー] Stronger counterexamples to the topological Tverberg conjecture

Sergey Avvakumov, Роман Карасев+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2019

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ひとこと要約

この論文は、$ r $ が素数冪でない場合に、$ d $ が十分に大きいとき、$ N = (d+1)r - r\left\lceil \frac{d+2}{r+1} \right\rceil - 2 $ に対して、$ \Delta_N \to \mathbb{R}^d $ への almost $ r $-埋め込みの存在を確立することで、トポロジカルTverberg予想に対するより強い反例を構成する。この結果は、一般化された等長写像とMabillard–Wagnerの定理を用いることで、従来の知られていた範囲よりもはるかに広い次元範囲で予想が成立しないことを示している。

ABSTRACT

Denote by $Δ_M$ the $M$-dimensional simplex. A map $f\colon Δ_M o\mathbb R^d$ is an almost $r$-embedding if $fσ_1\cap\ldots\cap fσ_r=\emptyset$ whenever $σ_1,\ldots,σ_r$ are pairwise disjoint faces. A counterexample to the topological Tverberg conjecture asserts that if $r$ is not a prime power and $d\ge2r+1$, then there is an almost $r$-embedding $Δ_{(d+1)(r-1)} o\mathbb R^d$. This was improved by Blagojević-Frick-Ziegler using a simple construction of higher-dimensional counterexamples by taking $k$-fold join power of lower-dimensional ones. We improve this further (for $d$ large compared to $r$): If $r$ is not a prime power and $N:=(d+1)r-r\Big\lceil\dfrac{d+2}{r+1}\Big ceil-2$, then there is an almost $r$-embedding $Δ_N o\mathbb R^d$. For the $r$-fold van Kampen-Flores conjecture we also produce counterexamples which are stronger than previously known. Our proof is based on generalizations of the Mabillard-Wagner theorem on construction of almost $r$-embeddings from equivariant maps, and of the Özaydin theorem on existence of equivariant maps.

研究の動機と目的

• トポロジカルTverberg予想に対するより強い反例を構成することにより、$ \mathbb{R}^d $ への almost $ r $-埋め込みを許容する単体 $ \Delta_N $ の次元 $ N $ を最小化すること。
• $ r $ が素数冪でない場合に、このような almost $ r $-埋め込みが存在する次元 $ N $ の既知の下界を改善すること。
• $ (d+1)(r-1) $ よりも大きい、$ N = (d+1)r - r\left\lceil \frac{d+2}{r+1} \right\rceil - 2 $ という新しい閾値を確立すること。これは、almost $ r $-埋め込みの存在を示すものである。
• 繰り返し結合法などの従来の構成に依存しない、自己完結的な証明を、一般化された等長写像と位相的障害を用いて与えること。

提案手法

• 著者たちは、Mabillard–Wagnerの定理を一般化し、等長写像を用いた削除積空間への写像から、almost $ r $-埋め込みを構成する。
• 彼らは、特定の次元条件の下で、球面 $ S^{2r-2}_{\Sigma_r} $ への等長写像の存在を示すために、Özaydinの定理を拡張する。
• 重要な構成として、固定点 $ c $ の近傍における $ \Sigma_r $-等長ホモトピー $ h_{\pm} $ を、反射とシフトを用いて定義し、局所次数を制御する。
• 証明では、Borsukのホモトピー拡張定理を用いて、部分複体から全領域への $ G $-等長ホモトピーを拡張し、等長性を保つ。
• 原点における局所次数の計算を用い、写像の符号を元の写像 $ f $ の向きと関連づけ、次数の比較を可能にする。
• $ h_{+} $ と $ h_{-} $ の構成は、$ f(c) $ の方向に点をシフトする $ \Sigma_r $-等長変形に依存しており、ゼロ集合が正確に $ \Sigma_r c \times \{1/4\} $ となるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ r $ が素数冪でない場合に、$ (d+1)(r-1) $ よりも著しく低い次元 $ N $ で、$ \Delta_N \to \mathbb{R}^d $ への almost $ r $-埋め込みが存在する可能性は？
• RQ2 繰り返し結合構成に依存せずに、トポロジカルTverberg予想に対するより強い反例を構成することは可能か？
• RQ3 $ r $ が素数冪でなく、$ d $ が十分に大きいとき、$ \Delta_N \to \mathbb{R}^d $ への almost $ r $-埋め込みが存在するような最適な $ N $ の値は何か？
• RQ4 一般化された等長写像と局所次数理論は、Tverberg問題の文脈における削除積障害をどのように精緻化するか？

主な発見

• 論文は、$ r $ が素数冪でなく、$ d $ が十分に大きいとき、$ N = (d+1)r - r\left\lceil \frac{d+2}{r+1} \right\rceil - 2 $ に対して、$ \Delta_N \to \mathbb{R}^d $ への almost $ r $-埋め込みが存在することを確立している。この $ N $ は $ (d+1)(r-1) $ よりも厳密に大きい。
• この境界は、$ d \geq 2r+1 $ の条件下で以前に得られた $ (d+1)(r-1) $ よりも改善されたものである。
• この構成により、繰り返し結合法から得られる反例よりも強い反例が得られ、$ N $ がその構成から得られる $ F $-境界を超える可能性がある。
• $ d = (r+1)q - 1 $ かつ $ q \geq r+2 $ のとき、$ \Delta_{(d+1)(r-1)} \to \mathbb{R}^{d-1} $ が可能であることが示され、ターゲット次元が改善された。
• $ d \geq (s+2)r^2 $ のとき、almost $ r $-埋め込み $ \Delta_{(d+1)(r-1)} \to \mathbb{R}^{d-s} $ の存在が証明され、ターゲット次元が顕著に削減されたことが示された。
• この結果は、[BFZ, 猜測5.5] の部分的なケースを確認しており、$ r < d $ のとき $ N \leq dr - 2 $ であることを示し、Tverberg問題に対する新しい障害理論的枠組みを提供する。