[論文レビュー] Structural Relations of Harmonic Sums and Mellin Transforms at Weight w=6

J. Blümlein|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2009

Material Science and ThermodynamicsEngineering被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、質量ゼロのQEDおよびQCD計算に関連する、インデックス{-1}を含まない和に関して、重みw=6における調和和とメリン変換の構造的関係を導出する。初期の486個の和を99個に、さらに代数的および構造的関係を用いて20個の基本関数にまで削減し、複素数Nへの解析接続および物理的量（異常次元やウィルソン係数など）のコンパクト表現を可能にする。

ABSTRACT

We derive the structural relations between nested harmonic sums and the corresponding Mellin transforms of Nielsen integrals and harmonic polylogarithms at weight {\sf w = 6}. They emerge in the calculations of massless single--scale quantities in QED and QCD, such as anomalous dimensions and Wilson coefficients, to 3-- and 4--loop order. We consider the set of the multiple harmonic sums at weight six without index $\{-1\}$. This restriction is sufficient for all known physical cases. The structural relations supplement the algebraic relations, due to the shuffle product between harmonic sums, studied earlier. The original amount of 486 possible harmonic sums contributing at weight {\sf w = 6} reduces to 99 sums with no index $\{-1\}$. Algebraic and structural relations lead to a further reduction to 20 basic functions. These functions supplement the set of 15 basic functions up to weight {\sf w = 5} derived formerly. We line out an algorithm to obtain the analytic representation of the basic sums in the complex plane.

研究の動機と目的

• 重みw=6における調和和とメリン変換の構造的関係を導出すること。これはw=5までの一連の先行研究を拡張する。
• 3–および4–ループの質量ゼロQEDおよびQCDにおいて、物理的量をコンパクトに表現する最小の基本関数の集合を特定すること。
• 調和和を複素数Nへ解析接続可能にするために、物理的応用における利用を支援すること。
• 代数的および構造的関係を組み合わせることで、重みw=6における独立な調和和の数を削減すること。
• 複素平面上における基本関数の解析的表現を取得する体系的なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• NおよびNの整数倍・分数における調和和の解析を通じて、その定義域をN ∈ ℚに拡張し、構造的関係を導出する。
• 1/(1±z)で重み付けられた調和多重polylogarithmのメリン積分表現を用い、和とメリン変換を結びつける。
• 部分積分および微分関係（d^l/dN^l M[f](N) = M[ln^l(z)f(z)](N)）を適用し、再帰的および構造的制約を導出する。
• シャッフル積代数を適用して、初期の486個の調和和（インデックス{-1}を除く）を99個の独立した和に削減する。
• 代数的および構造的関係を組み合わせることで20個の基本関数を特定し、w=6における最小基底を形成する。
• 階乗級および再帰を用いたアルゴリズムの概要を提示し、複素平面上における基本関数の解析的表現を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的関係を超えて、重みw=6における調和和とメリン変換の構造的関係は何か？
• RQ2 代数的および構造的制約を併用することで、w=6における独立な調和和の数をどのように削減できるか？
• RQ3 質量ゼロのQEDおよびQCDにおいて、w=6における物理的量を表現する最小基底を形成する20個の基本関数はどれか？
• RQ4 物理的応用を想定した場合、調和和を複素数Nへ体系的に解析接続するにはどうすればよいか？
• RQ5 基本関数のメリン変換の解析的構造は何か？また、ψ関数をどのように一般化するか？

主な発見

• インデックス{-1}を除く重みw=6における調和和の初期セット486個は、すべての既知の物理的状況に十分な99個の独立した和に削減可能である。
• 代数的および構造的関係をさらに適用することで、15個の基本関数（w=5までに知られていたもの）に加え、20個の基本関数からなる最小基底が得られる。
• 基本関数のメリン変換は、非正の整数でのみ特異性を持つ階乗級であり、ψ関数およびその微分を一般化する。
• 階乗級表現を用いることで、調和和の複素数Nへの解析接続が可能であり、既知の再帰関係および漸近展開が利用可能である。
• 構造的関係により、質量ゼロのQEDおよびQCDにおける3–および4–ループの異常次元やウィルソン係数などの物理的量が、コンパクトな解析的表現で記述可能である。
• 本手法により、メリン変換の正確な解析的表現が可能となり、従来の数値的高精度近似を一般化する。