[論文レビュー] Structure and applications of real C*-algebras

Jonathan Rosenberg|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 47被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、実C*-代数の構造と応用を検討し、特にオルオリエンタール弦理論および正のスカラー曲率を持つ多様体の分類においてその役割に焦点を当てる。本稿は、オルオリエンタールコンパクト化におけるDブレーン電荷から生じるねじれKR理論が物理的状態を分類し、実バウム＝コンヌ予想と深い関係を示すことを示しており、T双対性の対称性は実群C*-代数表現によるねじれKR群の同型に反映されている。

ABSTRACT

For a long time, practitioners of the art of operator algebras always worked over the complex numbers, and nobody paid much attention to real C*-algebras. Over the last thirty years, that situation has changed, and it's become apparent that real C*-algebras have a lot of extra structure not evident from their complexifications. At the same time, interest in real C*-algebras has been driven by a number of compelling applications, for example in the classification of manifolds of positive scalar curvature, in representation theory, and in the study of orientifold string theories. We will discuss a number of interesting examples of these, and how the real Baum-Connes conjecture plays an important role.

研究の動機と目的

• 実C*-代数の構造的性質を、複素化および反線形*-反同型写像 θ が θ² = 1 を満たすことに基づいて分類すること。
• 実C*-代数が正のスカラー曲率を持つ多様体の分類において果たす役割を検討すること。
• 実C*-代数およびKR理論がオルオリエンタール弦理論におけるDブレーン電荷とどのように関連するかを接続すること。
• 弦理論におけるT双対性およびミラー対称性が、ねじれKR理論群の同型にどのように符号化されるかを分析すること。
• ねじれKR理論の計算と、可解群に対して成立する実バウム＝コンヌ同型との間の関係を確立すること。

提案手法

• 複素化および *-反同型写像 θ が θ² = 1 を満たすことを用いて実C*-代数を分類する。
• シュールの補題とマズールの定理を用いて、既約表現を実型、複素型、ケイリー型に分類する。
• KR理論およびねじれK理論を用いて、OプレーンとB場を伴うオルオリエンタール弦理論におけるDブレーン電荷をモデル化する。
• 楕円曲線上のオルオリエンタールコンパクト化におけるT双対性を、異なる符号選択および固定点構造におけるねじれKR群の比較によって分析する。
• ZまたはZ²を有限指数部分群として持つ群に対して、実バウム＝コンヌ同型を用いて、双対理論間のねじれKR群の同型を確立する。
• ホロモーフィックまたはアンチホロモーフィックな自己同型を伴うCalabi-Yau多様体上のオルオリエンタール理論に対して、ねじれKR理論群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの複素C*-代数が実形式（*-反同型写像 θ が θ² = 1 を満たすもの）を持つのか？
• RQ2 与えられた複素C*-代数が持つことのできる異なる実形式の数はいくつで、それらの分類を決定づける要因は何か？
• RQ3 オルオリエンタール弦理論におけるOプレーン電荷とB場は、どのように実連続的トレース代数のねじれKR理論を生じさせるか？
• RQ4 弦理論におけるT双対性およびミラー対称性が、ねじれKR理論群の同型に対応する程度はどの程度か？
• RQ5 実バウム＝コンヌ予想は、双対なオルオリエンタール理論のねじれKR群の同型を説明するために果たす役割は何か？

主な発見

• ヒルベルト空間上のハイパーフィニートII₁因子 R は一意な実形式を持ち、この実形式は Rℝ ⊗ℝ ℍ ≅ Rℝ を満たす。
• 実C*-代数の既約*-表現は、補空間代数に基づいて三つのタイプ（実型、複素型、ケイリー型）に分類される。
• ホロモーフィックまたはアンチホロモーフィックな自己同型を伴うCalabi-Yau多様体へのオルオリエンタールコンパクト化は、自然に実連続的トレース代数のK理論を生じる。
• 楕円曲線上のオルオリエンタール理論では、三つの異なるT双対性群が特定され、それぞれが異なるねじれKR理論群（KO⁻•(T²)、KSC⁻•⊕KSC⁻•−1、KO⁻•⊕KO⁻•⊕K⁻•−1）を持つ。
• 可解群にZまたはZ²を有限指数部分群として持つ場合の実バウム＝コンヌ同型から、双対なオルオリエンタール理論のねじれKR群の同型が生じる。
• 異なるT双対性群間では、双対理論のねじれKR理論群は非同型であり、それらの間には追加の双対性は存在しないことが証明される。