[論文レビュー] Structure and asymptotics for Motzkin numbers modulo small primes using automata

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、7から29までの素数について、モツキン数の漸近的密度および構造的パターンを、自動機理論的手法を用いて分析する。ローイドとヤッサウィのフレームワークに基づき自動機を構築することで、1（素数7, 17, 19の場合）や22/3045（29の場合）といった正確な漸近的密度を導出し、$ M_n \equiv 0 \mod p $ となる条件を決定づけるp進展開における繰り返し形式を同定する。その結果、密度は1または$ \frac{2}{p(p-1)} $のいずれかであるが、29は顕著な例外であることが明らかになった。

ABSTRACT

We establish the asymptotic density and some structure results for the Motzkin numbers modulo primes up to 29 using automata.

研究の動機と目的

• 7から29までの素数pについて、$ M_n \equiv 0 \mod p $ となるモツキン数の漸近的密度を特定すること。これは、小さな素数についての先行研究を拡張するものである。
• 自動機の状態図を用いて、$ M_n \equiv 0 \mod p $ となるようなnのp進展開における構造的パターンを同定すること。
• 漸近的密度 $ S_p(0) $ が、小さな素数で観察されたように、$ \frac{2}{p(p-1)} $ または1のパターンに従うかどうかを調査すること。
• 自動機が、大きな素数に対しても、漸近的密度の計算および $ M_n \mod p $ の再帰的構造の解明に有効なツールであることを示すこと。

提案手法

• ローイドとヤッサウィ（2013）のアルゴリズムに従い、モツキン数の母関数から有限状態機械を生成することで、$ M_n \mod p $ 用の自動機を構築する。
• これらの自動機の状態遷移図を用いて、出力が0である状態に至るすべての経路を特定し、それらが $ M_n \equiv 0 \mod p $ に対応することを確認する。
• 特に28や27のような桁のブロックを含むp進展開のパターンを分析することで、$ M_n \equiv 0 \mod p $ となるnの集合を特徴づける。
• 文献[1]の定理4を適用して漸近的密度を導出し、各剰余類の正確な密度を計算する。この定理は、$ \{ (qi + r)q^{sj + t} \} $ の形の集合の密度を与える。
• 特に特定のテンプレート（図9）に類似した部分グラフを分析することで、密度の下界を確認する。
• 大規模な自動機（例：p=29では29状態）を扱うために記号的計算を用い、全遷移の列挙を避ける代わりに、状態遷移の構造的パターンに注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 7から29までの素数pについて、$ M_n \equiv 0 \mod p $ の漸近的密度は何か。また、小さな素数で観察された $ \frac{2}{p(p-1)} $ または1のパターンに従うか。
• RQ2 nのp進展開におけるどの構造的形が $ M_n \equiv 0 \mod p $ に対応するか。また、それらは自動機の状態図からどのように導出できるか。
• RQ3 自動機 $ M_n \mod p $ は常に出力が0のループ状態を含み、初期状態以外に2つの出力が0の状態が一貫して存在するか。すべての事例で観察されたとおりか。
• RQ4 漸近的密度 $ S_p(0) $ は常に $ \frac{2}{p(p-1)} $ 以上である下界を持つのか。その条件は自動機の構造的性質にどのように依存するか。
• RQ5 p=29のようなケースで観察されたように、最小漸近的密度 $ \frac{2}{p(p-1)} $ を保証する一般の構造的テンプレート（例：部分グラフのパターン）が自動機に存在するか。

主な発見

• $ M_n \equiv 0 \mod 7 $ の漸近的密度は1であり、これは $ n = 7^k - 2 $ のときに限り成立する。
• p=11の場合、$ S_{11}(0) $ の漸近的密度は $ \frac{1}{55} = \frac{2}{10 \cdot 11} $ であり、$ \frac{2}{p(p-1)} $ のパターンに一致する。
• p=13の場合、$ S_{13}(0) $ の漸近的密度は $ \frac{1}{78} = \frac{2}{12 \cdot 13} $ であり、再び $ \frac{2}{p(p-1)} $ の公式と整合的である。
• p=17の場合、$ S_{17}(0) $ の漸近的密度は1であり、$ M_n \equiv 0 \mod 17 $ は $ n = 17^{2k} - 2 $ のときに成立する。
• p=19の場合、$ S_{19}(0) $ の漸近的密度は1であり、$ M_n \equiv 0 \mod 19 $ は $ n = 19^k - 2 $ のときに成立する。
• p=29の場合、$ S_{29}(0) $ の漸近的密度は $ \frac{22}{3045} > \frac{2}{28 \cdot 29} $ であり、$ \frac{2}{p(p-1)} $ のパターンが常に成り立つわけではないことが示された。密度はnの29進展開における4つの異なる形から導出された。