[論文レビュー] Structures symplectiques et de Poisson sur les champs en catégories

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、dgカテゴリにおける対象の導来モジュライ空間におけるシンプレクティック構造およびポアソン構造の新規存在結果を、Calabi-Yau構造および剛性モノイダルdgカテゴリにおける方向性を用いて確立する。AKSZ形式主義を射の空間 $\mathbb{R}\mathbf{Map}(X,Y)$ を超えて一般化するため、$\omega$-カテゴリにおけるHKR定理およびトレース理論を活用し、次を証明する：$d$次元のCalabi-Yau dgカテゴリおよび方向性を備えた剛性モノイダルdgカテゴリは、それらの対象のモジュライ空間に次数 $2-d$ のシンプレクティック形式を誘導する。

ABSTRACT

The purpose of this short note is to present two existence results concerning symplectic and lagrangian structures in the derived setting, in situations where the constructions of [Ca] and [PTVV] do not apply. For this we show that symplectic structures can be constructed out of Calabi-Yau structures on sheaves of dg-categories, or out of \emph{orientations} on sheaves of rigid dg-categories. These results follow from two main theorems: the HKR theorem and the cyclotomic aspect of traces in rigid infty-categories.

研究の動機と目的

• AKSZ形式主義を、評価準同型が存在しない $\mathbb{R}\mathbf{Map}(X,Y)$ の形をした導来モジュライ空間に拡張すること。
• 幾何的実現が存在しない場合でも、$d$-Calabi-Yau dgカテゴリ $T$ の対象の導来モジュライ空間 $\mathcal{M}_T$ にシンプレクティック構造が存在することを確立すること。
• 標準的なAKSZ手法が失敗する非コンパクトまたは形式的境界空間（例：$\widehat{\partial}X$）における接続のモジュライ空間に、シンプレクティックおよびポアソン構造を構成する一般枠組みを提供すること。
• トレース理論および$\infty$-カテゴリー的双対性を用いて、導来代数的幾何における非可換および可換なシンプレクティック幾何の統一を図ること。
• 滑らかで非コンパクトな多様体 $X$ 上の平坦接続の導来モジュライに、Lagrangian準同型を介して次数 $2-d$ の自然なポアソン構造が誘導されることを示すこと。

提案手法

• cdgaの負の循環ホモロジーと $S^1 \otimes_k A$ のホモトピー固定点との関係を示す高次HKR定理を用い、自然な準同型 $(S^1 \otimes_k A)^{hS^1} \to \mathcal{A}^{p,\text{cl}}(A)[p]$ を確立する。
• 剛性モノイダル$\infty$-カテゴリにおけるトレース理論を適用し、シンプレクティック形式を定義するために不可欠な自然なトレースおよびペアリングを構成する。
• $d$次元のdgカテゴリ $T$ にCalabi-Yau構造がある場合、それにより$\mathcal{M}_T$ に次数 $2-d$ のシンプレクティック形式が誘導されることを構成する。
• 剛性モノイダルdgカテゴリ $T$ に前方向性 $or: H^\bullet(\text{End}(1)) \to k[-d]$ が存在する場合、$\mathcal{M}_T$ にシンプレクティック構造が定義されることを示す。
• 導来スタック $X$ の導来ループ空間 $\mathcal{L}X$ にトレース準同型を適用し、循環ホモロジーおよびシンプレクティック構造とを結びつける。
• Poisson構造の存在を、シンプレクティック導来スタックへのLagrangian準同型の存在に還元する。[Me-Sa]および[Pa-To]の基準を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AKSZ形式主義が、元の空間 $X$ が存在しない場合に適用不可能となるため、dgカテゴリの対象の導来モジュライ空間にシンプレクティック構造を構成できるか。
• RQ2 $d$-Calabi-Yau構造が、dgカテゴリ $T$ の対象の導来モジュライスタック $\mathcal{M}_T$ に次数 $2-d$ の自然なシンプレクティック形式を誘導するか。
• RQ3 $X$ がコンパクトでない場合でも、滑らかで非コンパクトな多様体 $X$ 上の平坦接続の導来モジュライにシンプレクティック構造を定義できるか。
• RQ4 $X$ が非コンパクトな場合に、形式的境界 $\widehat{\partial}X$ 上の接続のモジュライ空間に、シンプレクティックおよびポアソン構造を一般化して定義できるメカニズムがあるか。
• RQ5 [An]における$\ell$-adic層の導来モジュライに、この新しい枠組みを用いてシンプレクティック構造を導入できるか。

主な発見

• $d$-Calabi-Yau dgカテゴリ $T$ に対して、対象の導来モジュライスタック $\mathcal{M}_T$ は、定理2.5で確立された次数 $2-d$ の自然なシンプレクティック構造を備える。
• 剛性モノイダルdgカテゴリ $T$ に前方向性 $or: H^\bullet(\text{End}(1)) \to k[-d]$ が存在する場合、定理3.7で示されるように、モジュライスタック $\mathcal{M}_T$ は次数 $2-d$ のシンプレクティック形式を備える。
• 前方向性が実際に方向性である場合、前方向性によって誘導される準同型 $u: \mathcal{M}^{\mathcal{T}'} \to \mathcal{M}^{\mathcal{T}}$ は、$u^*(\omega) \sim 0$ を満たすLagrangian構造 $h$ を持つ。
• 滑らかで非コンパクトな多様体 $X$ 上の平坦接続の導来モジュライスタック $\mathbf{Vect}^\nabla(X)$ は、$\mathbf{Vect}^\nabla(\widehat{\partial}X)$ へのLagrangian準同型によって誘導され、次数 $2-d$ の自然なポアソン構造を持つ。
• $\mathbb{R}\mathbf{Map}(X,Y)$ の形をしたものではない、$\mathbf{Vect}^\nabla(\widehat{\partial}X)$ のシンプレクティック構造は、定理3.7によりAKSZ型の評価写像を必要とせず構成可能である。
• 結果は解析的および剛性解析的設定へも拡張可能であり、最近のHKR定理を用いることで、[An]における$\ell$-adic層のモジュライへの適用が示唆される。