[論文レビュー] SU(2) nonstandard bases: the case of mutually unbiased bases

Olivier Albouy, M. Kibler|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 64被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、su(2) の普遍包あらゆる代数内の二パラメータ作用素 $v_{ra}$ を用いて、SU(2) の非標準的基底を導入する。標準的基底 $\{j^2, j_z\}$ を置き換えるもので、$2j+1$ が素数であるとき、$\{j^2, v_{ra}\}$ の固有ベクトルは、完全な相互に unbiased な基底（MUB）を形成する。これは、切断された変形調和振動子と一般化されたガウス和を用いた群論的構成である。

ABSTRACT

This paper deals with bases in a finite-dimensional Hilbert space. Such a space can be realized as a subspace of the representation space of SU(2) corresponding to an irreducible representation of SU(2). The representation theory of SU(2) is reconsidered via the use of two truncated deformed oscillators. This leads to replace the familiar scheme {j^2, j_z} by a scheme {j^2, v(ra)}, where the two-parameter operator v(ra) is defined in the enveloping algebra of the Lie algebra su(2). The eigenvectors of the commuting set of operators {j^2, v(ra)} are adapted to a tower of chains SO(3) > C(2j+1), 2j integer, where C(2j+1) is the cyclic group of order 2j+1. In the case where 2j+1 is prime, the corresponding eigenvectors generate a complete set of mutually unbiased bases. Some useful relations on generalized quadratic Gauss sums are exposed in three appendices.

研究の動機と目的

• 有限次元 SU(2) 表現の非標準的基底を、su(2) の普遍包あらゆる代数内に新規作用素 $v_{ra}$ を用いて構築すること。
• 標準的基底 $\{j^2, j_z\}$ を $\{j^2, v_{ra}\}$ に置き換えることにより、新しい対称性に適合した基底構造を可能とすること。
• $\{j^2, v_{ra}\}$ の固有ベクトルと素数次元ヒルベルト空間における相互に unbiased な基底（MUB）との関係を確立すること。
• この構成の副産物として、一般化された二次ガウス和にかかわる関係を導出し、分析すること。
• SU(2) 表現論と巡回部分群 $C_{2j+1}$ を用いた、MUB の構成の群論的かつ代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• su(2) の普遍包あらゆる代数内に、二パラメータの要素として作用素 $v_{ra}$ を定義し、切断された変形調和振動子から構成する。
• su(2) の極座標分解を用いて作用素 $v_{ra}$ を定義し、$j^2$ と可換であり、同時に固有状態によって新たな基底を生成すること。
• $\{j^2, v_{ra}\}$ の固有状態を構成し、群の鎖 $\text{SO}_3 \supset C_{2j+1}$ に沿って変換されることを示す。ここで $C_{2j+1}$ は位数 $2j+1$ の巡回群である。
• $2j+1$ が素数であるとき、得られる基底ベクトルが次元 $2j+1$ のヒルベルト空間において完全な相互に unbiased な基底（MUB）を形成することを証明する。
• modulo $2j+1$ における剰余類の平行移動対称性を用いて、行列要素とガウス和の不変性を導出する。
• モジュラー算術とインデックスシフトにおける位相不変性を用いて、一般化された二次ガウス和 $S(u,v,w)$ の恒等式を導出し、重要な数論的関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 su(2) の普遍包あらゆる代数内に新規作用素 $v_{ra}$ を用いて、有限次元 SU(2) 表現の非標準的基底を構築できるか。
• RQ2 どの条件下で $\{j^2, v_{ra}\}$ 基底が有限次元ヒルベルト空間において完全な相互に unbiased な基底（MUB）を生成するか。
• RQ3 一般化された二次ガウス和は、SU(2) 表現および MUB 構成の文脈でどのように自然に現れるか。
• RQ4 $\{j^2, v_{ra}\}$ 基底内の状態間の重なりを支配する代数的および数論的恒等式は何か。
• RQ5 $\{j^2, v_{ra}\}$ 基底の構造は、特に $2j+1$ が素数のとき、群鎖 $\text{SO}_3 \supset C_{2j+1}$ とどのように関連するか。

主な発見

• $v_{ra}$ は、su(2) の普遍包あらゆる代数内に定義され、$j^2$ と可換であるため、新たな可換集合 $\{j^2, v_{ra}\}$ の構成が可能となる。
• $2j+1$ が素数であるとき、$\{j^2, v_{ra}\}$ の固有ベクトルは、次元 $2j+1$ のヒルベルト空間において完全な相互に unbiased な基底（MUB）を形成する。
• 行列要素 $\left|\left\langle j\alpha;ra|j\beta;rb\right\rangle\right|^2$ は一様に分布し、各値が $1/(2j+1)$ に等しいため、MUB の性質が確認される。
• $2j+1$ における平行移動の方法により、重なりが $\beta - \alpha$ に依存しないことが保証され、MUB 条件の証明に不可欠である。
• 一般化された二次ガウス和 $S(u,v,w)$ は、恒等式 $S(u,v,w) = q^{(ut^2 + vt)/2} S(u, v + 2ut, w)$ を満たし、インデックスシフトにおける位相不変性を示す。
• $w$ が奇数のとき、恒等式 $S(u, 2n - uw, w) = q^{-(w-1)(w+1)u/8 + (w-1)n/2} S(u, 2n - u, w)$ が導出され、ガウス和が MUB 構成と関連することが示される。