[論文レビュー] $SU(2) \otimes SU(2)$ bi-spinor structure entanglement induced by a step potential barrier scattering in two-dimensions

Victor A. S. V. Bittencourt, S. S. Mizrahi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Crystallography and Radiation Phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元ディラック的粒子が段差ポテンシャル障壁で散乱された際の、内部パリティとヘリシティ自由度間のもつれを、フォン・ノイマンエントロピーを指標として定量的に評価している。散乱がSU(2)⊗SU(2)バイスピンル状もつれを誘発することを示しており、入射角および相対位相の制御により最大もつれを達成可能であり、グラフェンや捕獲イオンなどの系に応用可能である。

ABSTRACT

The entanglement between $SU(2) \otimes SU(2)$ internal degrees of freedom of parity and helicity for reflected and transmitted waves of Dirac-like particles scattered by a potential step along an arbitrary direction on the $x-y$ plane is quantified. Diffusion ($E \geq V$) and Klein zone ($V \geq E$) energy regimes are considered. It has been shown that, for $SU(2) \otimes SU(2)$ polarized structures of helicity eigenstates impinging the barrier, the local interaction with a {\em step} potential destroys the {\em parity-spin} separability. The framework presented here can be straightforwardly translated into a useful theoretical tool for obtaining the {\em spin-spin} entanglement in the context of enlarged scenarios of nonrelativistic $2D$ systems, as for instance those for describing single layer graphene, or even single trapped ions with Dirac bi-spinor mathematical structure.

研究の動機と目的

• 2次元ディラック的粒子が段差ポテンシャル障壁で散乱した後の、内部パリティとヘリシティ自由度間のもつれを定量すること。
• 局所的なポテンシャル障壁との相互作用が、初期状態で分離可能であったヘリシティ固有状態のパリティ-スピン分離性を破壊する仕組みを分析すること。
• ディラックバイスピンル構造を有する非相対論的2次元系におけるスピン-スピンもつれを計算する理論的枠組みを確立すること。
• 反射および透過過程におけるキラル性（⟨γ⁵⟩）と量子もつれ（vNエントロピー）の関係を明らかにすること。
• 本理論的枠組みが、グラフェンやディラック的ダイナミクスを示す捕獲イオンなどの実物理系に応用可能であることを示すこと。

提案手法

• 2次元で、x-y平面内の任意の方向に沿った段差ポテンシャル障壁を有するディラック方程式をモデル化する。
• 自由粒子解を2キュービット演算子を用いてSU(2)⊗SU(2)もつれ状態として表現する：H_D = σ_x^(1)⊗(p·σ^(2)) + mσ_z^(1)⊗I^(2)。
• エネルギー、ポテンシャルの高さ、入射角、運動量を変数とするヘリシティ固有状態（|+⟩, |−⟩）の反射・透過振幅を計算する。
• 純粋状態の反射波および透過波について、フォン・ノイマンエントロピー（S = −Tr[ρ_log₂ρ]）をもつれの指標として用いる。
• 入射角θおよび相対位相Δωの関数として、もつれエントロピーS_RおよびS_Tの解析的表現を導出する。
• 極値のもつれ点の解析的および数値的分析を行い、最小および最大もつれの条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 段差ポテンシャルによる散乱が、2次元ディラック粒子における内部パリティとヘリシティの間のもつれをどのように誘発するか？
• RQ2 もつれエントロピーが入射角およびヘリシティ成分間の相対位相にどのように依存するか？
• RQ3 幾何的および位相的制御により、反射波および透過波のもつれを最大または最小化できるか？
• RQ4 反射および透過領域における平均キラル性⟨γ⁵⟩とフォン・ノイマンエントロピーの関係は何か？
• RQ5 本理論的枠組みは、グラフェンや捕獲イオンなどの非相対論的2次元系におけるスピン-スピンもつれを記述するために、どの程度一般化可能か？

主な発見

• 段差ポテンシャルによる散乱は、初期状態で分離可能であったパリティとヘリシティ自由度の分離性を破壊し、SU(2)⊗SU(2)バイスピンルもつれを誘発する。
• 反射および透過状態のフォン・ノイマンエントロピーは、sinθ₀ = μ / √(1 + μ²) で最小値を示し、これが臨界入射角に対応する。
• ヘリシティ状態の最大重ね合わせ（|I₊| = |I₋| = 1/√2）の場合、拡산領域における最小もつれエントロピーは解析的に計算可能であり、相対位相Δωに依存する。
• もつれエントロピーS_RおよびS_Tは、反射波および透過波の振幅間の相対位相Δωに明示的に依存し、異なるΔω値に対して特徴的なプロファイルを示す。
• 反粒子（負のパリティ）のもつれ構造は、E → −E、V → −V、μ → −μの置換により、粒子のそれと等価であり、位相依存性が逆転する。
• 拡散領域およびクライン領域において、平均キラル性⟨γ⁵⟩ともつれエントロピーS_R,Tの間には強い定性的な一致が観察され、キラル変換ともつれの間に深い関係があることが示唆される。