[論文レビュー] Subgroup dynamics and $C^\ast$-simplicity of groups of homeomorphisms

Adrien Le Boudec, Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、可縮性のない剛性安定化子が、一様再帰的部分群（URS）の非可縮性を意味することを示すことで、ホメオモルフィズム群の部分群ダイナミクスとC*-単純性の間の関係を確立する。非可縮性の剛性安定化子に基づくC*-単純性の基準を導入し、トゥーマンの群Vと特定の部分的射影的群がC*-卒単純であることを証明する。これは、自由部分群を含まない、有限生成のC*-単純群の最初の例である。

ABSTRACT

We study the uniformly recurrent subgroups of groups acting by homeomorphisms on a topological space. We prove a general result relating uniformly recurrent subgroups to rigid stabilizers of the action, and deduce a $C^*$-simplicity criterion based on the non-amenability of rigid stabilizers. As an application, we show that Thompson's group $V$ is $C^\ast$-simple, as well as groups of piecewise projective homeomorphisms of the real line. This provides examples of finitely presented $C^\ast$-simple groups without free subgroups. We prove that a branch group is either amenable or $C^\ast$-simple. We also prove the converse of a result of Haagerup and Olesen: if Thompson's group $F$ is non-amenable, then Thompson's group $T$ must be $C^\ast$-simple. Our results further provide sufficient conditions on a group of homeomorphisms under which uniformly recurrent subgroups can be completely classified. This applies to Thompson's groups $F$, $T$ and $V$, for which we also deduce rigidity results for their minimal actions on compact spaces.

研究の動機と目的

• 微小支持作用をもつホメオモルフィズム群における一様再帰的部分群（URS）を特徴づけること。
• 剛性安定化子の非可縮性に基づくC*-単純性の基準を確立すること。
• 極端な境界作用と最大点安定化子をもつ群におけるURSを分類すること。
• 自由部分群を含まない、有限生成のC*-単純群の新しい例を提供すること。
• 分岐群は可縮性またはC*-単純性のいずれかであり、ハーガップとオレセンのトゥーマン群に関する結果の逆を確立すること。

提案手法

• 開集合の剛性安定化子が非自明である「微小支持作用」の概念を導入する。
• G-不変な閉部分集合を調べるために、閉部分群の空間におけるチャバウティ位相を用いる。
• コンパクト空間上の極小かつ極端に近傍的（extremely proximal）な作用に対して、安定化子URSの概念を適用する。
• 部分群のシュレーマー図をケイリー図に準等長埋め込みすることで、非可縮性を導出する。
• 開集合の分割と位相的フル群の元を用いて、軌道上の群作用を模倣する。
• 非可縮性のシュレーマー図が非可縮性の部分群を意味することを活用し、剛性安定化子へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホメオモルフィズムによる群作用において、すべての非自明な一様再帰的部分群が非可縮性であるための条件は何か？
• RQ2 群の剛性安定化子の非可縮性によって、そのC*-単純性を決定できるか？
• RQ3 群の唯一のURSが自明、全群、および安定化子URSであることを保証する条件は何か？
• RQ4 自由部分群を含まない有限生成群に対し、C*-単純性を確立できるか？
• RQ5 ハーガップとオレセンの結果（Fの非可縮性がTのC*-単純性を導く）の逆は成り立つか？

主な発見

• 微小支持作用において、すべての開集合の剛性安定化子が非可縮性ならば、すべての非自明な一様再帰的部分群も非可縮性である。
• 剛性安定化子が非可縮的で、作用が微小支持的であるため、トゥーマンの群VはC*-単純である。
• 実直線上の部分的射影的ホメオモルフィズム群は、同じ条件下でC*-単純である。
• 極端な境界作用をし、最大点安定化子をもち、有限またはアーベルな商をもたない剛性安定化子をもつ群の唯一の一様再帰的部分群は1、G、および安定化子URSに限られる。
• 分岐群は可縮性またはC*-単純性のいずれかであり、このクラスに二分法が成立する。
• トゥーマンの群Fが非可縮性ならば、トゥーマンの群TはC*-単純である。これはハーガップとオレセンの結果の逆を証明する。