[論文レビュー] Subshift of finite type and self-similar sets

Kan Jiang, Karma Dajani|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、重なりが正確であり、端点に周期的軌道が存在するという条件下で、反復関数系（IFS）によって生成される自己相似集合と有限型符号化との間の対応関係を確立する。自己相似集合をマルコフ分割を用いてグラフ指向自己相似集合と同一視することで、Mauldin-Williams理論を用いて、一意符号化を持つ点の集合および複数の符号化を持つ点の集合のハウスドルフ次元を計算する。この手法をβ展開および非対称な穴を伴う2倍写像の生存集合に適用する。

ABSTRACT

Let $K\subset \mathbb{R}$ be a self-similar set generated by some iterated function system. In this paper we prove, under some assumptions, that $K$ can be identified with a subshift of finite type. With this identification, we can calculate the Hausdorff dimension of $K$ as well as the set of elements in $K$ with unique codings using the machinery of Mauldin and Williams \cite{MW}. We give three different applications of our main result. Firstly, we calculate the Hausdorff dimension of the set of points of $K$ with multiple codings. Secondly, in the setting of $β$-expansions, when the set of all the unique codings is not a subshift of finite type, we can calculate in some cases the Hausdorff dimension of the univoque set. Motivated by this application, we prove that the set of all the unique codings is a subshift of finite type if and only if it is a sofic shift. This equivalent condition was not mentioned by de Vries and Komornik \cite[Theorem 1.8]{MK}. Thirdly, for the doubling map with asymmetrical holes, we give a sufficient condition such that the survivor set can be identified with a subshift of finite type. The third application partially answers a problem posed by Alcaraz Barrera \cite{Barrera}.

研究の動機と目的

• 実数直線上の自己相似集合が有限型符号化と同一視できる条件を確立すること。
• 重なりを伴う自己相似集合において、一意符号化を持つ点の集合および複数符号化を持つ点の集合のハウスドルフ次元を計算すること。
• Mauldin-Williams理論の適用範囲をβ展開および非対称な穴を伴う2倍写像の生存集合へ拡張すること。
• 一意的符号化集合と有限型符号化との関係を明確にし、一意符号化集合が有限型符号化であるための必要十分条件がソフィックシフトであることの証明を行う。

提案手法

• 自己相似集合 $K$ にマルコフ分割を構成するため、$f_i(K)$ の端点に周期的軌道が存在し、重なりが正確であると仮定する。
• マルコフ分割を用いて、$ \{1,\dots,m\}^\mathbb{N}$ 上のフルシフトを遷移行列によって有限型符号化に変換する。
• マルコフ構造のおかげで、自己相似集合 $K$ を開集合条件を満たすグラフ指向自己相似集合と同一視する。
• Mauldin-Williams定理を適用して、$K$ およびその部分集合（例えば一意的符号化集合 $U_F$）のハウスドルフ次元を計算する。
• 2倍写像に非対称な穴を導入して生存集合をモデル化し、区間上にマルコフ分割を定義することで、有限型符号化と同型であることを確立する。
• 生存集合から可算個の逆像を除いた集合と有限型符号化との間に一対一対応 $\phi$ を定義し、シフト写像を介して力学的構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で自己相似集合 $K$ を有限型符号化と同一視できるか。
• RQ2 点が正確に $k$ 個の符号化を持つ集合のハウスドルフ次元は何か。また、$k$ に応じてどのように変化するか。
• RQ3 一意符号化集合が有限型符号化でない場合に、そのハウスドルフ次元を計算可能か。
• RQ4 一意符号化集合が有限型符号化であるための条件は何か。また、ソフィックシフトとはどのように関係するか。
• RQ5 非対称な穴を伴う2倍写像の生存集合が有限型符号化と同型であるための十分条件は何か。

主な発見

• 4つの写像からなる特定のIFSに対して、$0 < \lambda < \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ のとき、$U_{2^k}$ のハウスドルフ次元は $U_1$ と同じであり、$k \neq 2^s$（$s \geq 1$）では $U_k = \emptyset$、また $U_{\aleph_0} = \emptyset$ である。
• 自己相似集合 $K$ の任意の点は、ある $k \geq 0$ に対して正確に $2^k$ 個の符号化を持つか、非可算無限個の符号化を持つ。
• 一意符号化集合 $\widetilde{U}_F$ が有限型符号化であるための必要十分条件は、それがソフィックシフトであることである。これは、de Vries と Komornik によって以前に指摘されていなかった条件である。
• 非対称な穴 $[a,b)$ を伴う2倍写像に対して、生存集合 $J[a,b)$ のハウスドルフ次元は $\frac{\log \alpha}{\log 2}$ である。ここで $\alpha$ は隣接行列 $S'$ のスペクトル半径である。
• 可算個の逆像を除いた生存集合 $J[a,b)$ は、パリ測度を用いて有限型符号化 $\Sigma'$ と測度論的に同型である。
• 例 5.9 において、$a = \frac{1}{31}$、$b = \frac{2}{31}$ とすると、隣接行列のスペクトル半径 $\alpha$ は $\alpha^4 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1$ を満たし、$\dim_H(J(a,b)) = \frac{\log \alpha}{\log 2}$ となる。