[論文レビュー] Subshifts from sofic shifts and Dyck shifts, zeta functions and topological entropy

Kokoro Inoue, Wolfgang Krieger|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、特定の長さ2の語を除外することでソフィック・シフトおよびダイク・シフトから導かれるコード化された部分符号のクラスを導入し、そのゼータ関数およびトポロジカル・エントロピーの正確な式を得ている。主な貢献は、ダイクに類似した構造から得られる巡回コードの生成関数に対する閉形式の公式を導出することであり、これによりパrameter J, K, L, N を含む有理関数および代数的表現を用いてゼータ関数とエントロピーを正確に計算可能となる。

ABSTRACT

We introduce a class of coded systems that we construct from sofic systems and Dyck shifts and we study a class of subshifts that we obtain by excluding words of length two from Dyck shifts. We derive expressions for zeta functions and topological entropy. We derive an expression for the zeta function of certain subshifts that we obtain by excluding words from Dyck shifts and of certain subshifts that we obtain by excluding words from the subshifts that are constructed from full shifts and Dyck shifts.

研究の動機と目的

• 特定の長さ2の語を除外することで、ソフィック・シフトおよびダイク・シフトを変形し、新たなコード化システムを構築すること。
• これらの新しく構築された部分符号の力学的性質（特にゼータ関数およびトポロジカル・エントロピー）を分析すること。
• 禁止語が制御されたパrameter化された部分符号の族を導入することで、ダイク・シフトおよびモーツキン・シフトに関する既知の結果を一般化すること。
• 変更された部分符号の周期的点とその成分部分符号の周期的点との間の全単射対応を確立し、ゼータ関数の分解を可能にする。
• 巡回コードの生成関数に対する閉形式の代数的表現を導出し、これによりゼータ関数およびエントロピーの正確な公式を得ること。

提案手法

• 著者らは、ダイク・シフトおよびフル・シフトとダイク・シフトから構築された部分符号から、特定の長さ2の語を削除することで部分符号を定義する。
• 有限集合 Γ からの記号を用いたラベル付けシステムを導入し、逆モノイド関係を定義してダイクに類似した構造をモデル化する。
• 巡回コードおよびその生成関数の概念を用い、公式 ζ_Y(z) = 1 / (1 - g(C,z)) を用いてゼータ関数を導出する。
• Ω および Γ からの記号を含む禁止語を除外することで、補助的部部分符号 Y⁺, Y⁻, 以及 Ỹ を構築し、有理生成関数を用いてそれらのゼータ関数を導出する。
• 高さ関数 η および ϑ(γ(-)) = γ(+) を含む置換規則を用いて、変更された部分符号 Ỹ の周期的点と成分部分符号の周期的点との間の全単射対応を確立する。
• 最終的なゼータ関数は、成分生成関数を組み合わせ、二次方程式を解くことで得られ、g(C,z) がパrameter J, K, L, N に関して代数的表現として得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の長さ2の語がダイク・シフトおよびソフィック・シフトから除外された場合、部分符号のゼータ関数およびトポロジカル・エントロピーはどのように変化するか？
• RQ2 禁止語が導入された場合、ダイク・シフトから派生するコード化システムのゼータ関数を閉形式で表現できるか？
• RQ3 変更された部分符号の周期的点構造と元のダイクおよびソフィック成分の周期的点構造との関係は何か？
• RQ4 得られた巡回コードの生成関数は、J, K, L, N などのパrameter に関して代数的にどのように特徴付けられるか？
• RQ5 変更されたシステムのゼータ関数が、既知の部分符号の有理関数に分解するための条件は何か？

主な発見

• 部分符号 Ỹ のゼータ関数は、有理式 ζ_Ỹ(z) = 1 / [((1 - K z²)(1 - J z) - N z (1 + (L - K) z²)) q(z²) ∑_{0≤r<π} K^r z^{2r}] で与えられる。
• 巡回コード C の生成関数 g(C,z) は、二次方程式の解として得られ、g(C,z) = ½[1 - J z + N(L - K) z³ - √((1 - J z + N(L - K) z³)² - 4 N L z³ (1 - J z))] である。
• トポロジカル・エントロピー h(X) は、許容可能な語の数の指数的増加率として計算され、h(X) = lim_{n→∞} (1/n) log card(L_n(X)) である。
• 部分符号 Y⁺ のゼータ関数は、ζ_Y⁺(z) = 1 / [(1 - J z) q(N z²) (1 - N^π K^π z^{2π})] である。
• 部分符号 Ỹ⁺ のゼータ関数は、ζ_Ỹ⁺(z) = 1 / [(1 - J z) q(z²) (1 - K^π z^{2π})] である。
• 本稿では、部分符号 Ỹ の周期的点と Y⁻, Y(C⁻), Y(C⁺), Y⁺ の周期的点の和集合との間の全単射対応を確立し、周期を保存する。これによりゼータ関数の分解が可能となる。