[論文レビュー] Sufficient Conditions for Exact Semidefinite Relaxation of Optimal Power Flow in Unbalanced Multiphase Radial Networks

Fengyu Zhou, Yue Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2019

Optimal Power Flow Distribution参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、臨界バス（コストに寄与するか、束縛される注ぎ込み制約を持つバス）が隣接しない場合に、非対称多相放射状配電網における正確な半定値計画法（SDP）緩和が成立することを示す十分条件を確立している。この結果は、複素ベクトル形式での電圧および注ぎ込み関係を用いて、単相木構造ネットワークの条件を多相系へ一般化したものである。

ABSTRACT

This paper proves that in an unbalanced multi-phase network with a tree topology, the semidefinite programming relaxation of optimal power flow problems is exact when critical buses are not adjacent to each other. Here a critical bus either contributes directly to the cost function or is where an injection constraint is tight at optimality. Our result generalizes a sufficient condition for exact relaxation in single-phase tree networks to tree networks with arbitrary number of phases.

研究の動機と目的

• 非対称多相放射状配電網における正確なSDP緩和のための十分条件の欠如に対処すること。
• 単相放射状ネットワークにおける既存の十分条件を、任意の相数を有する多相系へ一般化すること。
• 正確な緩和を保証する構造的ネットワーク特性（具体的には、臨界バスの非隣接性）を同定すること。
• 最適解の知識を必要としない事前検証可能な条件を提供すること。
• 一意または複数の最適解を有する場合にまで理論的保証を拡張し、非線形コスト関数への影響を議論すること。

提案手法

• mを相数、nをバス数とする複素アドミittance行列 Y ∈ ℂ^(mn×mn) を用いて、非対称多相放射状ネットワークをモデル化する。
• 各相ごとの電圧および注ぎ込みベクトル V_j^ϕ と s_j^ϕ を定義し、ネットワークアドミittanceの各相成分を抽出するための射影行列 E_j^ϕ を用いる。
• 各バス・相における有効電力および無効電力の注ぎ込みを二次形式として表現する：Re(s_j^ϕ) = V^H Φ_j^ϕ V および Im(s_j^ϕ) = V^H Ψ_j^ϕ V、ここで Φ_j^ϕ および Ψ_j^ϕ はヘルミート行列である。
• 電圧の大きさおよび注ぎ込みの上限を満たす制約の下で、有効電力および無効電力の注ぎ込みの線形結合の最小化問題として、最適潮流（OPF）問題を定式化する。
• 電圧ベクトル V を正定値行列 W = V V^H にアップライトすることで、半定値緩和を適用し、非凸問題を凸SDPに変換する。
• 臨界バス（コストに寄与するか、束縛される制約を持つバス）の構造を分析し、非隣接性がランク1解の回復を保証することを証明することで、正確な緩和の十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称多相放射状ネットワークにおける最適潮流問題の半定値緩和が、どのような条件下で正確になるか？
• RQ2 単相放射状ネットワークにおける正確な緩和の十分条件を、任意の相数を有する多相系へ一般化できるか？
• RQ3 コスト寄与または束縛制約を持つ臨界バスの空間的分布が、SDP緩和の正確性にどのように影響するか？
• RQ4 元のOPF問題を解かずに、緩和の正確性を事前検証可能にできるか？
• RQ5 SDP緩和が一意の最適解ではなく複数の最適解を持つ場合、正確性の保証はどのように変化するか？

主な発見

• 臨界バス（コストに寄与するか、タイトな注ぎ込み制約を持つバス）が放射状ネットワーク内で非隣接である場合、SDP緩和は正確である。
• 最適解の知識を必要としない事前検証可能な十分条件（補題1）が存在し、ネットワークのトポロジーおよびコスト関数の符号にのみ依存する。
• 一意の最適解の場合に理論的結果が証明されているが、複数解の場合には、先行研究と同様に線形分離可能性に置き換える必要がある。
• 11バスの数値例において、最適SDP解の固有値は36.90および1.44×10^−10であり、数値精度内でランク1回復が確認された。
• 提案された条件は、先行の単相結果を多相系へ一般化したものであり、IEEE 13、37、123バスおよび2065バスの実世界ネットワークにおいても、すべてのバスが臨界であるが非隣接条件を満たさない場合でさえ、正確な緩和が確認された。
• 本手法は凸的・単調的・加法的分離可能なコスト関数に適用可能であり、コスト関数の符号構造に基づいて非線形ケースへも同様の根拠を拡張可能である。