[論文レビュー] Super-fast MST Algorithms in the Congested Clique using $o(m)$ Messages

Sriram V. Pemmaraju, Vivek B. Sardeshmukh|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分二次以下のメッセージ量で動作する、コンフスドクライエイクルモデルにおける最初の超高速最小全域木（MST）アルゴリズムを提示する。$O(\text{poly}(\log^* n))$ラウンドで実行され、$\tilde{O}(\text{poly}(n))$メッセージを用いる。これは、コンponent単位のエッジサンプリングと、$\tilde{O}(n)$メッセージの線形グラフスケッチを活用することで、通信量を削減しながらも、ほぼ最適なラウンド複雑度を維持している。

ABSTRACT

In a sequence of recent results (PODC 2015 and PODC 2016), the running time of the fastest algorithm for the \emph{minimum spanning tree (MST)} problem in the \emph{Congested Clique} model was first improved to $O(\log \log \log n)$ from $O(\log \log n)$ (Hegeman et al., PODC 2015) and then to $O(\log^* n)$ (Ghaffari and Parter, PODC 2016). All of these algorithms use $Θ(n^2)$ messages independent of the number of edges in the input graph. This paper positively answers a question raised in Hegeman et al., and presents the first "super-fast" MST algorithm with $o(m)$ message complexity for input graphs with $m$ edges. Specifically, we present an algorithm running in $O(\log^* n)$ rounds, with message complexity $ ilde{O}(\sqrt{m \cdot n})$ and then build on this algorithm to derive a family of algorithms, containing for any $\varepsilon$, $0 < \varepsilon \le 1$, an algorithm running in $O(\log^* n/\varepsilon)$ rounds, using $ ilde{O}(n^{1 + \varepsilon}/\varepsilon)$ messages. Setting $\varepsilon = \log\log n/\log n$ leads to the first sub-logarithmic round Congested Clique MST algorithm that uses only $ ilde{O}(n)$ messages. Our primary tools in achieving these results are (i) a component-wise bound on the number of candidates for MST edges, extending the sampling lemma of Karger, Klein, and Tarjan (Karger, Klein, and Tarjan, JACM 1995) and (ii) $Θ(\log n)$-wise-independent linear graph sketches (Cormode and Firmani, Dist.~Par.~Databases, 2014) for generating MST candidate edges.

研究の動機と目的

• コンフスドクライエイクルモデルにおける超高速MSTアルゴリズムが、部分二次以下のメッセージ量で達成可能かどうかという未解決の問題に取り組むこと。
• ラウンド複雑度を$O(\log^* n)$に保ちながら、メッセージ数を$\Theta(n^2)$未満に削減できるMSTアルゴリズムを設計すること。
• コンフスドクライエイクルモデルにおいて、低メッセージ量と超高速分散計算が両立可能であることを示すこと。
• $\varepsilon$をパrameterとするアルゴリズムの族を提供し、ラウンド複雑度とメッセージ数のトレードオフを実現すること。

提案手法

• Karger, Klein, および Tarjan のサンプリング補題を拡張し、各連結成分あたりの候補MSTエッジ数を制限する。
• 線形グラフスケッチ（$\Theta(\log n)$-wise 独立）を用いて、MST候補エッジを効率的に生成する。
• 低メッセージ量ルーティング方式（RSG）を用い、$\tilde{O}(\sqrt{m})$ノード間でキーとメッセージを再配分する。
• 再配分とLenzenの$O(1)$ラウンドソートを用いて、キーのソート問題をサイズ$\tilde{O}(\sqrt{k})$の小さなクライエイクルに還元する。
• $k = O(n^{2-\varepsilon})$のキーに対して$O(k)$メッセージを用いる分散ソートサブルーチンを適用し、エッジ重みのグローバルランク付けを効率的に行う。
• スケッチとルーティングプリミティブを組み合わせ、ラウンド数とメッセージ数の調整可能なトレードオフを持つアルゴリズム族を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンフスドクライエイクルモデルにおける超高速MSTアルゴリズムが、$o(m)$のメッセージ量で達成可能か？
• RQ2 メッセージ数を$\Theta(n^2)$未満に抑える中で、$O(\log^* n)$のラウンド複雑度を維持することは可能か？
• RQ3 コンponent単位のサンプリングと線形スケッチを用いて、通信コストを低く抑えながらMST候補を生成可能か？
• RQ4 低メッセージMSTアルゴリズムにおける、ラウンド複雑度とメッセージ複雑度のトレードオフは何か？
• RQ5 $\tilde{O}(n)$メッセージのみで、サブロガリズミックラウンドのMSTアルゴリズムを構築可能か？

主な発見

• 本稿は、$\tilde{O}(\sqrt{m \cdot n})$のメッセージ量で$O(\log^* n)$ラウンドのMSTアルゴリズムを提示する。これは、超線形グラフ（$m = \omega(n \cdot \text{poly}(\log n))$）では$\omega(m)$でない。
• 任意の$\varepsilon \in (0,1]$に対して、$O(\log^* n / \varepsilon)$ラウンドと$\tilde{O}(n^{1+\varepsilon}/\varepsilon)$メッセージを用いるアルゴリズム族を構築した。
• $\varepsilon = \log \log n / \log n$と設定すると、$\tilde{O}(n)$メッセージのみでサブロガリズミックラウンドのアルゴリズムが得られる。
• メッセージ量を$\tilde{O}(m)$に抑えながら、$O(\log^* n)$ラウンドを達成し、従来の$\Theta(n^2)$メッセージ量より改善した。
• 分散ソートサブルーチンにより、$k = O(n^{2-\varepsilon})$のキーに対してメッセージ量を$O(k)$に削減し、効率的なグローバルエッジ重みランク付けを可能にした。
• Hegemanらの未解決問題を解決し、$\tilde{O}(n)$メッセージで超高速MSTアルゴリズムが存在可能であることを示した。