[論文レビュー] Superconformal Partition Functions and Non-perturbative Topological Strings

G.B. Lockhart, Cumrun Vafa|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用数 56

ひとこと要約

本稿では、非摂動的な精錬トポロジカル弦の定義を、引きつがれた $S^5$ 上の超 conformal な分配関数を用いて提示し、5次元および6次元の超 conformal な場の理論の超 conformal インデックスと関連付ける。主な結果は、$SL(3,\mathbb{Z})$ 変換の下でトポロジカル弦の振幅のモジュラー逆数を含む三重積の公式であり、これは $\mathcal{N}=(2,0)$ および $(1,0)$ 理論、特に $N$ 個の M5-brane を含む理論の分配関数とインデックスの正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

We propose a non-perturbative definition for refined topological strings. This can be used to compute the partition function of superconformal theories in 5 dimensions on squashed S^5 and the superconformal index of a large number of 6 dimensional (2,0) and (1,0) theories, including that of N coincident M5 branes. The result can be expressed as an integral over the product of three combinations of topological string amplitudes. SL(3,Z) modular transformations acting by inverting the coupling constants of the refined topological string play a key role.

研究の動機と目的

• 精錬トポロジカル弦の摂動的振幅を超えた非摂動的定義を提供すること。
• 引きつがれた $S^5$ 上の5次元 $\mathcal{N}=1$ 理論の超 conformal 分配関数を、非摂動的トポロジカル弦データを用いて計算すること。
• この枠組みを6次元 $(2,0)$ および $(1,0)$ 理論の超 conformal インデックスの計算に拡張すること、$N$ 個の M5-brane システムを含むこと。
• 非摂動的トポロジカル弦振幅と超 conformal 理論におけるBPS縮重の間の双対性を確立すること。
• モジュラー逆数と解析接続を用いて、開弦および閉弦のトポロジカル弦分配関数を一般化すること。

提案手法

• 非摂動的トポロジカル弦分配関数 $Z_{np}$ を、$SL(3,\mathbb{Z})$ 変換の下で結合定数が逆転する3つの精錬トポロジカル弦振幅の比として提案する。
• 超 conformal インデックスとトポロジカル弦振幅の関係を用い、解析接続とモジュラー不変性により $Z_{np}$ を定義する。
• 5次元の超 conformal 分配関数を、$Z_{np}$ における $t_i$ の積分として表し、質量パラメータ $m_j$ と引きつがせパラメータ $\tau_1, \tau_2$ を含む。
• 6次元 $(2,0)$ および $(1,0)$ 理論にこの枠組みを適用するには、$S^1$ 上への compactification を行い、5次元理論に還元し、$Z_{np}$ を用いてその分配関数を計算する。
• 開弦振幅のモジュラー逆数を用いて非摂動的開弦分配関数 $Z_{np}^{open}$ を定義し、$S^3$ 上で同様の積分構造を持つ。
• 三重正弦関数 $S_3$ を用いて、ハイパーマトリックスおよびベクトルマトリックスの1ループ確定を $Z_{np}$ の形に表現し、分配関数の解析的構造と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超対称分配関数を用いて、精錬トポロジカル弦の非摂動的定義を構築できるか？
• RQ2 トポロジカル弦振幅を用いて、6次元 $(2,0)$ および $(1,0)$ 理論の超 conformal インデックスをどのように計算できるか？
• RQ3 $SL(3,\mathbb{Z})$ のモジュラー変換は、非摂動的振幅を定義するための結合定数の逆転にどのように寄与するか？
• RQ4 非摂動的トポロジカル弦分配関数は、5次元および6次元の超 conformal 理論におけるBPS縮重とどのように関係するか？
• RQ5 モジュライ空間における積分によって、$S^5$ 上の分配関数は非摂動的トポロジカル弦振幅から完全に再構成可能か？

主な発見

• 非摂動的トポロジカル弦分配関数は、$Z_{np}(t_i, m_j, \tau_1, \tau_2) = \frac{Z^{top}(t_i, m_j; \tau_1, \tau_2)}{Z^{top}(t_i/\tau_1, m_j/\tau_1; -1/\tau_1, \tau_2/\tau_1) \cdot Z^{top}(t_i/\tau_2, m_j/\tau_2; \tau_1/\tau_2, -1/\tau_2)}$ で与えられ、$SL(3,\mathbb{Z})$ に対して不変である。
• 5次元の超 conformal 分配関数は、$t_i$ のカーラー moduli における $Z_{np}$ の積分として得られ、$m_j$ を質量パラメータ、$\tau_1, \tau_2$ を引きつがせパラメータとして含む。
• 5次元の $(2,0)$ 理論の超 conformal インデックスは、$S^1$ 上への compactification を通じて計算され、$Z_{np}$ を用いた非摂動的インデックスとして得られる。
• $(2,0)$ 理論では、4つのパラメータに依存し、5次元 $\mathcal{N}=2^*$ ゲージ理論の質量と結合定数に対応する2つの追加のフューガシティが存在する。
• 5次元におけるハイパーマトリックスおよびベクトルマトリックスの1ループ確定は、三重正弦関数 $S_3$ の積として表現され、$Z_{np}$ の構造と一致する。
• 非摂動的開弦分配関数は、$Z_{np}^{open} = \frac{Z^{open}(t_i, m_j, x_k; \tau)}{Z^{open}(t_i/\tau, m_j/\tau, x_k/\tau; -1/\tau)}$ として定義され、$S^3$ 分配関数は開弦 moduli $x_k$ における積分として与えられる。