[論文レビュー] Supersymmetric gauge theories, quantization of moduli spaces of flat connections, and conformal field theory

G. S. Vartanov, J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、$N=2$ supersymmetric gauge theoryのクラス$\mathcal{S}$とLiouville conformal field theoryのAGT対応の導出を、平坦$SL(2,\mathbb{R})$-接続の量子化されたmoduli空間上で、インスタントン分配関数がリーマン＝ヒルベルト問題の解として特定されることに着目して行っている。主な結果は、この空間上の異なるダーブォー座標の間のカーネルがLiouville conformal blockに一致することであり、これにより非摂動的かつ超対称性に保護された対応の枠組みが得られる。

ABSTRACT

We will propose a derivation of the correspondence between certain gauge theories with N=2 supersymmetry and conformal field theory discovered by Alday, Gaiotto and Tachikawa in the spirit of Seiberg-Witten theory. Based on certain results from the literature we argue that the quantum theory of the moduli spaces of flat SL(2,R)-connections represents a non-perturbative "skeleton" of the gauge theory, protected by supersymmetry. It follows that instanton partition functions can be characterized as solutions to a Riemann-Hilbert type problem. In order to solve it, we describe the quantization of the moduli spaces of flat connections explicitly in terms of two natural sets of Darboux coordinates. The kernel describing the relation between the two pictures represents the solution to the Riemann Hilbert problem, and is naturally identified with the Liouville conformal blocks.

研究の動機と目的

• 非摂動的かつ超対称性に保護された枠組みから、$N=2$ゲージ理論とLiouville CFTとの間のAGT対応を導出すること。
• 平坦$SL(2,\mathbb{R})$-接続の量子moduli空間を、クラス$\mathcal{S}$ゲージ理論の非摂動的スケルトンとして同定すること。
• インスタントン分配関数が、この量子化されたmoduli空間上で定義された一般化リーマン＝ヒルベルト問題の解として生じることを示すこと。
• ダーブォー座標間の遷移カーネルがLiouville conformal blockに一致することを確立すること。

提案手法

• リーマン面上の平坦$SL(2,\mathbb{R})$-接続のmoduli空間$\mathcal{M}_{\rm flat}$を、2つの自然なダーブォー座標系を用いて量子化する。
• トレース演算子と長さ演算子の間に正準可換関係を導入し、$\mathcal{M}_{\rm flat}$上の関数の量子代数を構成する。
• 長さ座標とケーラー量子化などの異なる表現間のユニタリ演算子を定義し、そのカーネルがリーマン＝ヒルベルト問題を解く。
• 明示的な積分表現を用いて、ダーブォー座標間の遷移演算子のカーネルをLiouville conformal blockに同定する。
• モノドロミーおよびリーマン面の貼り合わせデータを記述するため、モア＝サイバーグ群ガロアとポントリャーゴン群ガロアを用いる。
• 量子バンドルの射影的平坦性を確立し、係数が関数に依存する一般化されたリーマン＝ヒルベルト問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動的かつ超対称性に保護された枠組みにおいて、$N=2$ゲージ理論からAGT対応をどのように導出できるか？
• RQ2 平坦$SL(2,\mathbb{R})$-接続の量子moduli空間が、クラス$\mathcal{S}$ゲージ理論の力学において果たす正確な役割は何か？
• RQ3 インスタントン分配関数は、$\mathcal{M}_{\rm flat}$上で定義された一般化リーマン＝ヒルベルト問題の解としてどのように生じるか？
• RQ4 ゲージ理論とLiouville CFTとの間の対応が、量子レベルでどのような数学的構造に裏付けられているか？
• RQ5 Liouville理論の conformal block は、$\mathcal{M}_{\rm flat}$上の異なるダーブォー座標系の間の遷移カーネルとしてどのように実現されるか？

主な発見

• 4次元空間$\mathbb{R}^4$上の$N=2$ゲージ理論のインスタントン分配関数は、平坦$SL(2,\mathbb{R})$-接続の量子化されたmoduli空間$\mathcal{M}_{\rm flat}$上で定義されたリーマン＝ヒルベルト問題の解として特定される。
• この$\mathcal{M}_{\rm flat}$上での2つの異なるダーブォー座標系の間のカーネルが明示的に計算され、Liouville conformal blockに一致することが示された。
• トレース座標と長さ座標の正準量子化により、$\mathcal{M}_{\rm flat}$上の関数の量子代数が構成され、ユニタリ表現が積分カーネルによって関連づけられる。
• モア＝サイバーグ群ガロアにおけるS移動カーネルを明示的に計算し、Liouvilleの三点関数と一致することが示された。
• 量子バンドルの射影的平坦性により、異なるチャート間での波動関数の整合性が保証され、モノドロミーは中心拡大に符号化されている。
• 生成関数$\mathcal{W}$の漸近的挙動は、conformal blockの古典的極限と一致し、既知の結果と整合することが確認された。