[論文レビュー] Surface group representations, Higgs bundles, and holomorphic triples

Steven B. Bradlow, Oscar Garcı́a-Prada+1 more|ArXiv.org|Jun 3, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、 genus g ≥ 2 のリーマン面上の U(p,q)-ヒッグス束のモジュライ空間に、ヒッグス場の L²-ノルムをモーレス関数として用いることで、半単純な PU(p,q)-表現のモジュライ空間の連結成分を分析する。主な結果は、ある可換性条件を満たす各許容されるトゥーライ invariant に対して、対応する成分が空でなく連結であること。可換性条件が成立しない場合、結果は既約表現に適用され、最大トゥーライ invariant に対して明示的な位相的制約と構造定理が得られる。

ABSTRACT

Using the $L^2$ norm of the Higgs field as a Morse function, we study the moduli spaces of $U(p,q)$-Higgs bundles over a Riemann surface. We require that the genus of the surface be at least two, but place no constraints on $(p,q)$. A key step is the identification of the function's local minima as moduli spaces of holomorphic triples. We prove that these moduli spaces of triples are irreducible and non-empty. Because of the relation between flat bundles and fundamental group representations, we can interpret our conclusions as results about the number of connected components in the moduli space of semisimple $PU(p,q)$-representations. The topological invariants of the flat bundles bundle are used to label components. These invariants are bounded by a Milnor-Wood type inequality. For each allowed value of the invariants satisfying a certain coprimality condition, we prove that the corresponding component is non-empty and connected. If the coprimality condition does not hold, our results apply to the irreducible representations.

研究の動機と目的

• genus g ≥ 2 のリーマン面上の基本群の半単純な PU(p,q)-表現のモジュライ空間における連結成分の数を特定すること。
• ヒッグス場の L²-ノルムをモーレス関数として用いることで、U(p,q)-ヒッグス束のモジュライ空間の位相をモーレス理論により理解すること。
• モーレス関数の局所最小値を、正則三重体のモジュライ空間として同定し、それらの非空性と非可約性を証明すること。
• 平坦な束の位相的不変量と表現多様体の連結成分との間の対応関係を確立すること。
• モジュライ空間が空でなく連結である条件を導出し、特にトゥーライ不変量と可換性条件との関係を明らかにすること。

提案手法

• モーレス関数は、U(p,q)-ヒッグス束のモジュライ空間上で、ヒッグス場の L²-ノルムとして定義される。
• モーレス関数の臨界点が分析され、局所最小値は正則三重体のモジュライ空間として特定される。
• ヒッグス束の変形理論と安定性条件が、可約および安定なヒッグス束の分類に用いられる。
• 正則三重体 (E₁ → E₂, φ) が中心的な対象として取り上げられ、そのモジュライ空間が非可約かつ非空であることが示される。
• トゥーライ不変量の可能な値を制限するため、トポロジカル不変量の上限、特にミルナー–ウッド型不等式が用いられる。
• モジュライ空間における平坦な束と π₁(X) の表現との対応関係を通じて、結果がヒッグス束モジュライから表現多様体へと翻訳される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面群の半単純な PU(p,q)-表現のモジュライ空間には、いくつの連結成分があり、それらの数は何かによって決定されるか？
• RQ2 特に L²-ノルムモーレス関数の臨界点において、U(p,q)-ヒッグス束のモジュライ空間の位相的構造はどのようなものか？
• RQ3 トゥーライ不変量が最大値またはゼロのとき、U(p,q)-ヒッグス束のモジュライ空間が空でなく連結である条件は何か？
• RQ4 表現をラベルづける不変量 (a,b) は、モジュライ空間の位相にどのように関係し、p+q と a+b の可換性は果たす役割は何か？
• RQ5 トゥーライ不変量が最大値に達したとき、モジュライ空間にはどのようなことが起こり、表現の可約性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意のトゥーライ不変量 τ について |τ| ≤ τ_M = p(2g−2) を満たす場合、指定された可換性条件または不等式条件のもとで、U(p,q)-ヒッグス束のモジュライ空間は非空かつ連結である。
• gcd(p+q, a+b) = 1 のとき、U(p,q)-表現のモジュライ空間は期待される次元の滑らかな多様体であり、連結である。
• |τ| = τ_M かつ p ≠ q のとき、モジュライ空間内のすべての表現は可約であり、U(p,p) における最大トゥーライ不変量を持つ表現と、U(q−p) における自明な表現への直和分解に分解される。
• 正則三重体のモジュライ空間が非可約かつ非空であることが証明され、これらの三重体はモーレス関数の正確に局所最小値に対応する。
• τ = 0 または |τ| = τ_M かつ p ≠ q のとき、半単純表現の全モジュライ空間は非空かつ連結である。
• (p−1)(2g−2) < |τ| ≤ τ_M かつ p = q のとき、可換性条件がなくてもモジュライ空間は連結であり、この場合、p = q の最大トゥーライ不変量が含まれる。