[論文レビュー] Surgery operations to fold maps to construct fold maps whose restrictions to the singular sets may not be embeddings

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異集合への制限が埋め込みでないにもかかわらず、余次元1の滑らかな埋め込みである場合に、滑らかな多様体上の折りたたみ写像を構成するための新しい手術操作を導入する。主な貢献は、Reeb空間に特定のコhomology環構造を引き継がせる折りたたみ写像の明示的構成であり、特異性理論と安定写像技法を用いて、元の多様体の代数的位相的解析を深めるものである。

ABSTRACT

Constructing Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps is fundamental, important and challenging in investigating the topologies and the differentiable structures of differentiable manifolds via Morse functions, fold maps and more general generic maps. It is one of important and interesting branches of the singularity theory of differentiable maps and applications to geometry of manifolds. In this paper we present fold maps with information of cohomology rings of their Reeb spaces. Reeb spaces are defined as the spaces of all connected components of all preimages, and in suitable situations inherit topological information such as homology groups and cohomology rings of the manifolds. Previously, the author demonstrated construction of fold maps in various cases : key methods are surgery operations to manifolds and maps and in this paper, we present more useful surgery operations and by them we construct new fold maps. More precisely, fold maps with singular value sets with crossings: the singular value set of a smooth map is the image of the set of all singular points and note that for fold maps, the set of all singular points are closed submanifolds without boundaries and the restrictions to them are immersions of codimension 1.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上に特異集合の挙動を制御可能な折りたたみ写像を構成するための新しい手術操作の開発。
• 特異集合への制限が埋め込みでない折りたたみ写像を調査し、標準的な埋め込み仮定を越えて拡張する。
• Reeb空間に特定のコhomology環構造を有する折りたたみ写像を明示的に構成し、元の多様体の位相と関連付ける。
• 特異集合制限における通常の交差を許容することで、従来のReeb空間不変量の結果を一般化する。
• Piecewisely smooth（PL）なカテゴリーにおいて、Reeb空間に収縮する多様体を構築するフレームワークを提供する。

提案手法

• 多様体および写像への手術操作を用い、特にpiecewisely smooth（PL）カテゴリーにおいて新しい折りたたみ写像を構成する。
• 局所モデルによる折りたたみ写像の定義と分析：$(x_1,\dots,x_m) \mapsto (x_1,\dots,x_{n-1}, \sum_{k=n}^{m-i} x_k^2 - \sum_{k=m-i+1}^{m} x_k^2)$、インデックス $i(p)$ が特異性の型を決定する。
• 特異集合への折りたたみ写像の制限に対して通常の交差を導入し、変形に対して横断的かつ安定であることを保証する。
• 前像成分の同値関係による商としてReeb空間を構成し、ホモロジーおよびコホモロジー情報の保存を図る。
• PL技法を用いて、$n$-次元、$(n-1)$-次元、$(n-2)$-次元の多面体上にファイバー束を構築し、$(m+1)$次元の多様体をReeb空間に収縮させる。
• PLカテゴリーを用いて、正則近傍の局所モデルを貼り合わせ、ファイバーが球面、円板、または厚みのある球面の積であるようにし、グローバルな収縮多様体を形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 手術操作を用いて、特異集合への制限が埋め込みでないが滑らかな埋め込みのままである折りたたみ写像を構成できるか？
• RQ2 特異集合制限における通常の交差が、Reeb空間の位相的および代数的不変量に与える影響は何か？
• RQ3 新しい手術技法を用いて構成された折りたたみ写像のReeb空間に、どのようなコホモロジー環構造を実現できるか？
• RQ4 特異集合制限が非埋め込みの場合でも、折りたたみ写像のReeb空間が、元の多様体のホモロジーおよびコホモロジーをどのように反映するか？
• RQ5 piecewisely smooth（PL）技法を用いて、Reeb空間に収縮する多様体をどのように構築でき、高次元におけるハンドル分解を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、特異集合への制限に通常の交差を許容する安定な折りたたみ写像を構成し、埋め込みを越えて拡張している。
• 構成された折りたたみ写像のReeb空間は、特定のコホモロジー環構造を引き継ぎ、元の多様体の代数的位相的解析を可能にする。
• $k_1 + 2k_2 + k_3 = 3$ の場合、$R = \mathbb{Z}$ または $\mathbb{Q}$ の条件下で、$A_R$ の $\frac{n}{2}$-番目のモジュールのランク2の部分モジュールに、平方が消える元が存在しないことを示している。
• 折りたたみ写像のReeb空間は、$n$次元の多面体として実現可能であり、元の多様体が次元 $m+1$ のpiecewisely smoothな多様体を介してそれへ収縮する。
• PLカテゴリーにおいて、$M \times \{1\}$ にインデックス $\geq m-n$ のハンドルを貼り合わせることで、$(m+1)$次元の多様体が得られ、それがReeb空間に収縮する。
• 本手法により、Reeb空間の位相を制御可能な折りたたみ写像を明示的に構成可能であり、特に各前像成分に最大2つの特異点を持つ場合も含む。