[論文レビュー] SUSY Transformations for Quasinormal and Total-Transmission Modes of Open Systems

P. T. Leung, Alec Maassen van den Brink+3 more|ArXiv.org|Sep 28, 1999

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、開放系における超対称性（SUSY）を拡張し、出射波境界条件から生じる複素固有値である準正規モードスペクトルを保存する変換を開発する。同時に全透過モードも統合する。複数の等スペクトル的SUSYパートナ一が存在し、それぞれ異なる状態を欠いていることが示され、SUSYにより準正規モードと透過モードが二重化され、ポシュル＝ベルのポテンシャルやシュバルツシルト時空における重力波への応用が示される。

ABSTRACT

Quasinormal modes are the counterparts in open systems of normal modes in conservative systems; defined by outgoing-wave boundary conditions, they have complex eigenvalues. The conditions are studied for a system to have a supersymmetric(SUSY) partner with the same complex quasinormal-mode spectrum (or the same except for one eigenvalue). The discussion naturally includes total-transmission modes as well(incoming at one extreme and outgoing at the other). Several types of SUSY transformations emerge, and each is illustrated with examples, including the transformation among different Poschl-Teller potentials and the well-known identity in spectrum between the two parity sectors of linearized gravitational waves propagating on a Schwarzschild background. In contrast to the case of normal modes, there may be multiple essentially isospectral partners, each missing a different state. The SUSY transformation preserves orthonormality under a bilinear map which is the analog of the usual inner product for conservative systems. SUSY transformations can lead to doubled quasinormal and total-transmission modes; this phenomenon is analysed and illustrated. The existence or otherwise of SUSY partners is also relevant to the question of inversion: are open wave systems uniquely determined by their complex spectra?

研究の動機と目的

• 開放系における複素準正規モード（保存則のない正規モードの類似物）を含む超対称性（SUSY）を一般化すること。
• 同じ準正規モードスペクトル（ある固有値を除いて）を持つSUSYパートナ一を持つ条件を特定すること。
• 散乱現象において重要な入射波と出射波の極端をつなぐ全透過モードをSUSY枠組みに統合すること。
• スペクトル反転問題に対するSUSYの意味を分析すること：開放系は複素スペクトルによって一意に決定されるか。
• 複数の等スペクトル的SUSYパートナ一が存在し、それぞれが異なる状態を欠いている場合の存在と構造、およびそれらの物理的意味を調査すること。

提案手法

• 保存則系における内積の類似として、正規直交性を保つ双線形写像を用いて、開放系におけるSUSY変換を形式化する。
• ポシュル＝ベルのポテンシャルにSUSYを適用し、異なるポテンシャル形状間で等スペクトル的準正規モードを実現する明示的変換を示す。
• シュバルツシルト背景における線形化重力波の2つのパリティ領域間のスペクトル同一性をSUSYを用いて分析する。
• 異なるスペクトル的挙動とパートナ一系構造に対応する、複数のタイプのSUSY変換を導入・分類する。
• SUSYパートナ一におけるモード二重化を調査し、準正規モードと全透過モードがSUSY写像下でどのように複製されるかを示す。
• 出射波境界条件の下での複素固有値解析を用いて、SUSY枠組み内での準正規モードの定義と特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、開放系が同じ準正規モードスペクトル（ある固有値を除いて）を持つSUSYパートナ一を持つことができるか。
• RQ2 全透過モードはどのようにSUSY形式的枠組みに統合され、スペクトルの等スペクトル性において果たす役割は何か。
• RQ3 開放系ではどのようなタイプのSUSY変換が出現し、保存則系におけるそれらとどのように異なるか。
• RQ4 複数の等スペクトル的SUSYパートナ一が存在し、それぞれが異なる状態を欠いている場合、その多重性の物理的意味は何か。
• RQ5 開放系の複素スペクトルがそのハミルトニアンをどの程度まで決定づけるか。SUSYはこの逆問題にどのように寄与するか。

主な発見

• 与えられた開放系に対して、異なる準正規モードを欠いた複数の等スペクトル的SUSYパートナ一が存在しうる。
• SUSY変換は、標準的内積の一般化である双線形写像を介して正規直交性を保つ。
• 線形化重力波のシュバルツシルト背景における2つのパリティ領域間の既知のスペクトル同一性が、本手法で正確に再現された。
• 明示的例により、異なるポシュル＝ベルのポテンシャル間で等スペクトル的準正規モードを保つSUSY変換が実現されている。
• SUSYはモード二重化を引き起こすことができ、準正規モードと全透過モードがパートナ一系にペアで出現する。これは保存則系には見られない現象である。
• SUSYパートナ一の存在はスペクトル反転問題に関連する：複素スペクトルが同じである複数の異なる系が存在しうるため、開放系はそのスペクトルによって一意に決定されない。