[論文レビュー] Symbolic dynamics for the Teichmueller flow

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、3g−3+m>1 を満たす genus g で m 個の穴あきをもつ曲面上の二次微分形式およびアーベル微分形式の strata におけるテイヒミュラー力学系に対して、記号的力学系を構築する。部分シフト型とボレルのサスペンションを導入することで、テイヒミュラー力学系への有限対1の半同型を確立し、リークス測度が最大エントロピー測度として一意的であることを証明するとともに、周期軌道の漸近的成長率および指数的混合性を導出する。

ABSTRACT

Let S be an oriented surface of genus g with m punctures and 3g-3+m>1. For each component of a stratum in the moduli space of quadratic or abelian differentials, we construct a subshift of finite type and a Borel suspension which admits a finite-to-one semi-conjugacy into the Teichmueller flow on Q. This is used to show that the Lebesgue measure on Q is the unique measure of maximal entropy. If h is the entropy of the Lebesgue measure, then for every a>0 there is a compact subset K of Q such that the entropy of an invariant Borel probability measure on Q-K does not exceed h-1+a. Moreover, the growth rate of periodic orbits in Q-K does not exceed h-1+a$. This implies that the number of periodic orbits in Q of period at most R is asymptotic to exp(hR)/hR.Finally we give a unified and simplified proof of exponential mixing for the Lebesgue measure on strata.

研究の動機と目的

• 3g−3+m>1 を満たす曲面上の二次微分形式およびアーベル微分形式の strata におけるテイヒミュラー力学系の記号的符号化を確立すること。
• strata 上のリークス測度がテイヒミュラー力学系に対して唯一の最大エントロピー測度であることの証明。
• strata のコンパクト部分集合の外部における周期軌道のエントロピーおよび成長率の分析。
• 二次微分形式およびアーベル微分形式の strata 上のリークス測度に対する指数的混合性の統一的かつ簡潔な証明の提供。

提案手法

• 各 strata の成分におけるテイヒミュラー力学系の力学的性質をモデル化する部分シフト型の構築。
• 部分シフト上でのボレルのサスペンションを定義し、テイヒミュラー力学系への半同型を実現すること。
• 有限対1の半同型を用いて、記号的系からテイヒミュラー力学系へのエントロピーおよび周期軌道の成長性質の移行。
• 不変測度の補集合上でのエントロピーを、strata のコンパクト部分集合の補集合上で評価する。
• エントロピーの上限を用いて、周期が R 以下の周期軌道の数の漸近的推定を導出すること。
• 記号的構造を活用し、リークス測度の指数的混合性の証明を統一的かつ簡潔に再構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次微分形式またはアーベル微分形式の strata 上のリークス測度は、テイヒミュラー力学系に対して唯一の最大エントロピー測度か？
• RQ2 strata のコンパクト部分集合の補集合上での不変測度のエントロピーはどのように減少するか？
• RQ3 strata 内で周期が R 以下の周期軌道の数の漸近的成長率は何か？
• RQ4 記号的力学系を用いて、strata 上のリークス測度の指数的混合性を統一的かつ簡潔に証明できるか？
• RQ5 部分シフト型とボレルのサスペンションによる記号的モデルは、テイヒミュラー力学系のエルゴド的および力学的性質をどの程度正確に捉えているか？

主な発見

• 各 strata 上のリークス測度は、テイヒミュラー力学系に対して唯一の最大エントロピー測度である。
• 任意の a>0 に対して、strata のコンパクト部分集合 K が存在し、K の補集合上での任意の不変測度のエントロピーは h−1+a 以下である。ここで h はリークス測度のエントロピーである。
• K の補集合における周期軌道の成長率は exp((h−1+a)R) で上から抑えられ、周期が R 以下の全周期軌道数は exp(hR)/(hR) に漸近的に比例する。
• strata 内で周期が R 以下の周期軌道の数は、h がリークス測度のトポロジカルエントロピーであるとして、exp(hR)/(hR) に漸近的に比例する。
• 本稿は、二次微分形式およびアーベル微分形式の strata 上のリークス測度に対する指数的混合性の統一的かつ簡潔な証明を提供する。
• 部分シフト型とボレルのサスペンションによる記号的モデルは、エントロピーおよび周期軌道の成長に対する精密な制御を可能にし、強い力学的結論を導く。