[論文レビュー] Symbolic Dynamics, Partial Dynamical Systems, Boolean Algebras and C*-algebras Generated by Partial Isometries

Toke Meier Carlsen|ArXiv.org|Apr 7, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、2方向シフト空間のクローズド積、位相的マルコフ連鎖のCuntz-Krieger代数、1方向シフト空間のC*-代数という3つのC*-代数のクラスを、ブール代数の射影と部分等長作用素を用いた離散部分力学系から得られる普遍C*-代数を構成することによって統一する。主な貢献は、これら多様なC*-代数が単一の構成の特殊ケースとして生じることを示し、特定の性質を満たす2方向シフト空間に対して、クローズド積が対応する1方向シフト空間のC*-代数の商であることを証明することにある。

ABSTRACT

We associate to each discrete partial dynamical system a universal C*-algebra generated by partial isometries satisfying relations given by a Boolean algebra connected to the discrete partial dynamical system in question. We show that for symbolic dynamical systems like one-sided and two-sided shift spaces and topological Markov chains with an arbitrary state space the C*-algebras usually associated to them, can be obtained in this way. As a consequence of this, we will be able to show that for two-sided shift spaces having a certain property, the crossed product of the two-sided shift space is a quotient of the C*-algebra associated to the corresponding one-sided shift space.

研究の動機と目的

• 符号的力学系に関連する3つの異なるC*-代数の構成を統一すること：2方向シフト空間のクローズド積、任意の状態空間を持つ位相的マルコフ連鎖のCuntz-Krieger代数、1方向シフト空間のC*-代数。
• すべての3つの構成が、離散部分力学系と射影のブール代数に基づく単一の枠組みから自然に生じることを示すこと。
• 2方向シフト空間のクローズド積が、特定の条件下で対応する1方向シフト空間に付随するC*-代数の商であるという構造的関係を確立すること。
• 符号的系の力学的構造が、その関連するC*-代数の代数的および作用素論的性質にどのように反映されるかを明確にすること。

提案手法

• 部分等長作用素と射影のブール代数から導かれる関係を用いて、各離散部分力学系に普遍C*-代数を関連付ける。
• 射影のブール代数と系の力学的性質によって定まる関係を満たす部分等長作用素によって生成される普遍対象としてC*-代数を構成する。
• 離散部分力学系のC*-代数が、C*-部分力学系のクローズド積として実現可能であることを示す。
• 部分力学系の共変表現を用いて、C*-代数をヒルベルト空間上の作用素として表現する。
• 1方向シフト空間のC*-代数、2方向シフト空間のクローズド積、遷移行列のCuntz-Krieger代数が、すべて一般構成の特殊ケースとして生じることを証明する。
• C*-代数のイデアル構造を用いて、主結果を導出する：2方向シフト空間が特定の性質を満たす場合、そのクローズド積は対応する1方向シフト空間のC*-代数の商である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の状態空間を持つ1方向シフト空間、2方向シフト空間、および位相的マルコフ連鎖のC*-代数を統一する単一の代数的構成が可能か？
• RQ2 符号的力学系の構造は、その部分等長作用素と射影のブール代数から生成されるC*-代数にどのように反映されるか？
• RQ3 1方向シフト空間のC*-代数とその対応する2方向シフト空間のクローズド積との間の正確な関係は何か？
• RQ4 2方向シフト空間のクローズド積が、1方向シフト空間のC*-代数の商として生じる条件は何か？
• RQ5 離散部分力学系に関連する部分等長作用素によって生成される普遍C*-代数は、どのようにC*-部分力学系のクローズド積として実現可能か？

主な発見

• 1方向シフト空間に付随するC*-代数は、対応する離散部分力学系から構成されるC*-代数と自然に同型である。
• 2方向シフト空間のクローズド積は、シフトが特定の構造的条件を満たす場合、対応する離散部分力学系のC*-代数と同型である。
• 任意の状態空間を持つ位相的マルコフ連鎖の遷移行列のCuntz-Krieger代数は、離散部分力学系のC*-代数として生じる。
• 指定された性質を満たす2方向シフト空間に対して、そのクローズド積は対応する1方向シフト空間のC*-代数の商である。
• 射影のブール代数と離散部分力学系の関係を満たす部分等長作用素によって生成される普遍C*-代数は、3つのC*-代数クラスを統一する枠組みを提供する。
• 離散部分力学系のC*-代数のイデアル構造が同定され、これにより1方向および2方向シフトC*-代数間の商関係が導出可能である。