[論文レビュー] Symmetries of almost complex structures and pseudoholomorphic foliations

Boris Kruglikov|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ほぼ複素構造 $J$ の局所対称性擬群の有限次元性に関する基準を確立し、無限次元の対称性擬群が生じるのは、$J$ が擬正則ファイブレーションを許容する可積分な場合に限ることを示している。主な結果は、最大対称性（無限次元）が発生するのは、Nijenhuis トランスフォーマーが可積分なランク2の分布を誘導する場合に限り、次元4および6における一意の実現が $G_2^c$ および $G_2^n$ 構造に関連していることである。

ABSTRACT

Generically an almost complex structure has no symmetries at all, but there exist symmetric structures. In this paper we describe how to guarantee that the pseudogroup of local symmetries is small (finite-dimensional). It will be indicated that a large symmetry pseudogroup (infinite-dimensional) is a signature of some integrable structure, like a pseudoholomorphic foliation. We are mostly concerned with almost complex structures in dimensions 4 and 6, where we classify the sub-maximal symmetric structures, and we briefly discuss the higher dimensions. For non-degenerate almost complex structures we give an estimate on the dimension of the automorphism group.

研究の動機と目的

• ほぼ複素構造 $J$ の局所対称性擬群 $G = \mathop{\rm Sym}_{\text{loc}}(M,J)$ が有限次元である条件を特定すること。
• 最大対称性（無限次元 $G$）を持つほぼ複素構造を分類し、その幾何的特徴を同定すること。
• Nijenhuis トランスフォーマー $N_J$ が関連する分布の可積分性と対称性次元をどのように決定するかを分析すること。
• 非退化なほぼ複素構造が大きな対称性群を持つ場合の、グローバルな位相的障害を確立すること。
• 次元4および6における部分最大対称構造を特徴づけ、その局所一意性および対称性の種類を同定すること。

提案手法

• 擬群 $G$ の関数的次元およびランクを計算するため、Cartan のテストを適用し、その元が何変数の何関数に依存するかを特定する。
• Nijenhuis トランスフォーマー $N_J$ を主な微分不変量として用い、$M$ 上のベクトル分布としてのその像 $\Pi = \mathop{\rm Im}(N_J)$ を分析する。
• もし $N_J$ が非退化（$n>2$ の場合に全射的）であるか、$n=2$ の場合に $\Pi$ が非可積分であれば、$\dim G < \infty$ であることを証明し、定理Aを確立する。
• $\dim G = \infty$ のとき、Nijenhuis の像 $\Pi$ は必ず可積分であることが示され、これにより擬正則ファイブレーションの存在が保証される。
• 関数的パラメータ数 $\sigma$ を分析することで、部分最大対称構造を分類し、$n=2,3$ の場合に $\sigma = n-1$、$n>3$ の場合に $\sigma = n-2$ であることを示す。
• 次元 $n=2$ および $n=3$ の最大対称性ケースは、局所的に一意の構造として特定され、$S^6$ 上の $G_2^c$-不変 $J$ および $S^{2,4}$ 上の $G_2^n$-不変 $J$ に対応し、$\dim G \leq 14$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ複素構造 $J$ の局所対称性擬群 $G$ が有限次元である条件は何か？
• RQ2 $G$ が無限次元である場合に強制的に存在する幾何的構造は何か？
• RQ3 次元4および6における非退化なほぼ複素構造に対して、局所対称性擬群 $G$ の最大次元は何か？
• RQ4 Nijenhuis トランスフォーマーおよびその像 $\Pi = \mathop{\rm Im}(N_J)$ は、$J$ の対称性構造をどのように制約するか？
• RQ5 大きな対称性群を持つ非退化なほぼ複素構造の存在に、グローバルな位相的障害は何か？

主な発見

• 擬群 $G$ が有限次元であるのは、Nijenhuis トランスフォーマー $N_J$ が非退化（$n>2$ の場合に全射的）であるか、$n=2$ の場合にその像 $\Pi$ が非可積分であるときである。
• $\dim G = \infty$ のとき、Nijenhuis の像 $\Pi = \mathop{\rm Im}(N_J)$ は必然的に可積分であり、これにより標準的な擬正則ファイブレーションの存在が保証される。
• 次元 $n=2$ の場合、部分最大対称構造は局所的に一意であり、擬正則な複素曲線へのほぼ正則バンドルに対応し、$\dim G = 4$ である。
• 次元 $n=3$ の場合、最大対称性擬群の次元は $\dim G \leq 14$ であり、これは $S^6$ 上の $G_2^c$-不変 $J$ または $S^{2,4}$ 上の $G_2^n$-不変 $J$ の場合にのみ達成される。
• 次元4および6では、2種類の異なる部分最大対称構造が存在し、両方とも $n-2$ 個の複素関数が2変数に依存する擬群に依存する。
• 非退化な $J$ が $N_J \neq 0$ を満たすと、$M$ が最大対称性の場合に $S^6$ や $S^{2,4}$ に微分同相であるというグローバルな位相的制約が生じる。