[論文レビュー] Symmetry, Compact Closure and Dagger Compactness for Categories of Convex Operational Models

Howard Barnum, Ross Duncan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、凸操作的モデル（COMs）の対称モノイダル圏におけるコンパクト閉包が、すべての過程が古典的確率的条件付けによって実現可能なテレポーテーションプロトコルおよびリモート評価の存在と同値であることを確立している。さらに、各系が状態空間と効果空間の間の同型を誘導する対称的で弱く自己双対的な二粒子状態を持つ場合に、ダガー・コンパクト性が生じることを示している。

ABSTRACT

In the categorical approach to the foundations of quantum theory, one begins with a symmetric monoidal category, the objects of which represent physical systems, and the morphisms of which represent physical processes. Usually, this category is taken to be at least compact closed, and more often, dagger compact, enforcing a certain self-duality, whereby preparation processes (roughly, states) are inter-convertible with processes of registration (roughly, measurement outcomes). This is in contrast to the more concrete "operational" approach, in which the states and measurement outcomes associated with a physical system are represented in terms of what we here call a "convex operational model": a certain dual pair of ordered linear spaces -- generally, {\em not} isomorphic to one another. On the other hand, state spaces for which there is such an isomorphism, which we term {\em weakly self-dual}, play an important role in reconstructions of various quantum-information theoretic protocols, including teleportation and ensemble steering. In this paper, we characterize compact closure of symmetric monoidal categories of convex operational models in two ways: as a statement about the existence of teleportation protocols, and as the principle that every process allowed by that theory can be realized as an instance of a remote evaluation protocol --- hence, as a form of classical probabilistic conditioning. In a large class of cases, which includes both the classical and quantum cases, the relevant compact closed categories are degenerate, in the weak sense that every object is its own dual. We characterize the dagger-compactness of such a category (with respect to the natural adjoint) in terms of the existence, for each system, of a {\em symmetric} bipartite state, the associated conditioning map of which is an isomorphism.

研究の動機と目的

• 量子基礎の圏的枠組みと凸操作的モデル（COMs）に基づく操作的アプローチの間のギャップを埋めること。
• COMsの圏におけるコンパクト閉包およびダガー・コンパクト性の操作的・物理的意味を特定すること。
• COMsの対称モノイダル圏としてモデル化された確率的理論におけるコンパクト閉包の必要十分条件を同定すること。
• 弱自己双対性および対称的二粒子状態がダガー・コンパクト性を達成するために果たす役割を明確化すること。
• 一般確率的理論において、テレポーテーションやもつれスワッピングといった量子の基礎的特徴が、どのように操作的原理から生じるかを探索すること。

提案手法

• 系自身のコピーをリソースとして用いる、確定的テレポーテーションプロトコルの存在を通じてコンパクト閉包を特徴づける。
• コンパクト閉包と、すべての過程が系のコピーを含むリモート評価プロトコルとして実現可能なことの同値性を確立する。
• 各系 A が A⊗A 上の二粒子状態 γ_A を持ち、それが状態空間と効果空間の間の同型を誘導する弱く自己双対的（WSD）理論の概念を導入する。
• COMsの圏における標準的随伴 ′ を定義し、ダガー・コンパクト性が、随伴が対合であり、理論が対称的に自己双対的であることと同値であることを示す。
• 状態と効果のコーンの双対性および正の線形写像の構造を用いて、標準的随伴がダガー性質を満たす条件を導出する。
• 特に、Koecherの正の領域および同次コーンの理論を用いた凸幾何学およびジョルダン代数論の結果を応用し、非可約状態空間の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸操作的モデルの対称モノイダル圏がコンパクト閉包であるための条件は何か？
• RQ2 一般確率的理論において、テレポーテーションの概念はどのように操作的に特徴づけられるか？
• RQ3 COMsの圏におけるダガー・コンパクト性の操作的意味は何か？
• RQ4 弱自己双対性が、整合性のあるダガー構造の存在を示すのはいつか？
• RQ5 COMsの圏における標準的随伴がダガー公理を満たすための条件は何か？

主な発見

• 凸操作的モデルの対称モノイダル圏がコンパクト閉包であるための必要十分条件は、すべての過程が系のコピーをリソースとして用いるリモート評価プロトコルとして実現可能であることである。
• コンパクト閉包は、理論内のすべての系に対して確定的テレポーテーションプロトコルが存在することと、操作的に同値である。
• 弱く自己双対的理論において、標準的随伴に関してダガー・コンパクト性が成立するのは、理論が対称的に自己双対的である、すなわち状態空間と効果空間の同型が対称的二粒子状態によって実現されるときである。
• このような理論では、すべての自己準同型 φ に対して φ′′ = φ が成り立つため、ダガー構造が適切に定義される。
• 理論が飽和的であり、すべての非可約状態空間が同次的であるならば、状態空間は形式的実ジョルダン代数であることが示され、量子理論との深い関係が示唆される。
• 本結果は、量子力学の自己双対構造が、一般確率的理論の広いクラスにおいて操作的原理から導けることを示している。