[論文レビュー] Symmetry-Preserving Quadratic Lindbladian and Dissipation Driven Topological Transitions in Gaussian States

Liang Mao, Fan Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2023

Advanced Thermodynamics and Statistical MechanicsPhysics and Astronomy参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、開放量子系における Lindbladian 動的過程において、密度行列の位相的性質—そのモジュラーハミルトニアンの位相的不変量によって特徴づけられる—が動的遷移を経験しうることを提案する。フェルミオンのガウス状態において、対称性を保存する Lindbladian は、モジュラーハミルトニアンの対称性類を保ち、初期状態が非自明な場合に位相的遷移を引き起こす。これは AIII および DIII 対称性類において、遷移点における密度行列固有値スペクトルの特徴により実証された。

ABSTRACT

The dynamical evolution of an open quantum system can be governed by the Lindblad equation of the density matrix. In this paper, we propose to characterize the density matrix topology by the topological invariant of its modular Hamiltonian. Since the topological classification of such Hamiltonians depends on their symmetry classes, a primary issue we address is determining the requirement for the Lindbladian operators, under which the modular Hamiltonian can preserve its symmetry class during the dynamical evolution. We solve this problem for the fermionic Gaussian state and for the modular Hamiltonian being a quadratic operator of a set of fermionic operators. When these conditions are satisfied, along with a nontrivial topological classification of the symmetry class of the modular Hamiltonian, a topological transition can occur as time evolves. We present two examples of dissipation-driven topological transitions where the modular Hamiltonian lies in the AIII class with U(1) symmetry and the DIII class without U(1) symmetry. By a finite size scaling, we show that this density matrix topology transition occurs at a finite time. We also present the physical signature of this transition.

研究の動機と目的

• 開放量子系における Lindbladian 動的過程において、密度行列の位相的性質が動的に遷移しうるかを調査すること。
• ガウス状態において、Lindbladian 演算子がモジュラーハミルトニアンの対称性類を時間発展中に保つ条件を同定すること。
• 初期状態のモジュラーハミルトニアンが系のハミルトニアンと関係がなくても、位相的遷移が発生しうることを示すこと。
• 密度行列固有値スペクトルを通じて、このような遷移の測定可能な特徴を提供すること。

提案手法

• モジュラーハミルトニアンは $ \hat{\rho} = e^{-\hat{K}} $ により定義され、$ \hat{K} $ はフェルミオンの二次的演算子である。
• モジュラーハミルトニアン $ \hat{K} $ の位相的分類は、Altland-Zirnbauer の対称性類に基づき、AIII および DIII に焦点を当てる。
• 対称性を保存する Lindbladian は、$ \hat{K} $ の対称性操作と可換である Lindblad 演算子を用いて導出され、条件 $ \mathcal{S} \hat{L}_{\mu} \mathcal{S}^{-1} = \hat{L}_{\mu} $ を満たす。
• Lindblad 方程式に従う $ \hat{K} $ の時間発展が計算され、位相的不変量の変化が追跡される。
• 2 つのモデルについて数値的シミュレーションが実施された：1 つは U(1) 対称性を有する AIII クラス、もう 1 つは U(1) 対称性を欠く DIII クラス。
• 遷移は、臨界時における密度行列の純度ギャップの消失を観察することで診断される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開放量子系における Lindbladian 動的過程において、モジュラーハミルトニアンに符号化された密度行列の位相的性質が動的遷移を経験しうるか？
• RQ2 Lindblad 演算子にどのような条件下で、モジュラーハミルトニアンの対称性類が時間発展中に保存されるか？
• RQ3 密度行列固有値スペクトルにおける位相的遷移の測定可能な特徴は何か？
• RQ4 初期状態が位相的に非自明だが、定常状態が自明である場合、モジュラーハミルトニアンの位相的不変量はどのように時間発展するか？
• RQ5 このような遷移は実験的に観測可能か？また、それらを示す物理的観測量は何か？

主な発見

• 初期状態が位相的に非自明で、定常状態が自明である場合、対称性を保存する Lindbladian によってモジュラーハミルトニアンに位相的遷移が生じる。
• AIII クラスの例では、臨界時におけるホメオモルフィズム数が 1 から 0 に変化し、モジュラーハミルトニアンがギャップレスになるに伴い純度ギャップが消失する。
• DIII クラスの例では、Fu-Kane の $ Z_2 $ 不変量が -1（非自明）から +1（自明）に遷移し、遷移点で純度ギャップが消失することで確認された。
• 密度行列の固有値は、遷移点で明確な特徴を示す：最大固有値 $ \lambda_0 $ が残りの固有値から有限のギャップで分離されなくなる。
• Lindblad 演算子が関連する対称性（U(1)、時間反転、チャイral 対称性）を保存する限り、遷移は安定である。これにより、$ \hat{K} $ の対称性類が維持される。
• 結果から、AIII クラスではエンsembles の幾何的位相が位相的不変量の測定可能プローブとなり得る。これは実験的特徴としての可能性を示唆する。