[論文レビュー] Symmetry via antisymmetric maximum principles in nonlocal problems of variable order

Sven Jarohs, Tobias Weth|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非局所作用素に変数型および非等方的性質をもつ場合に、非負解の対称性および単調性を、新規の反対称最大原理を用いて確立する。核および非線形項にやや弱い構造的仮定を課した場合、Steiner対称領域における解は、自明にゼロでない限り、$x_1$-軸に関して対称であり、$|x_1|$に関して厳密に単調減少であることを示す。

ABSTRACT

We consider the nonlinear problem \[(P) \;\; I u=f(x,u) ext{ in $Ω$,} \;\; u=0 ext{ on $\mathbb{R}^{N}\setminusΩ$ }\] in an open bounded set $Ω\subset\mathbb{R}^{N}$, where $I$ is a nonlocal operator which may be anisotropic and may have varying order. We assume mild symmetry and monotonicity assumptions on $I$, $Ω$ and the nonlinearity $f$ with respect to a fixed direction, say $x_1$, and we show that any nonnegative weak solution $u$ of $(P)$ is symmetric in $x_1$. Moreover, we have the following alternative: Either $u\equiv 0$ in $Ω$, or $u$ is strictly decreasing in $|x_1|$. The proof relies on new maximum principles for antisymmetric supersolutions of an associated class of linear problems.

研究の動機と目的

• 非局所方程式の対称性結果を、分数ラプラシアンを超えて、変数型および非等方的作用素へと拡張すること。
• 有界でSteiner対称な領域における非負解の対称性および厳密単調性を確立すること。
• 一般化された非局所作用素に適用可能な、反対称関数に対する最大原理に基づく包括的枠組みを構築すること。
• グリーン関数やノイマンからディリクレへの写像に依存しない、対称性結果に必要な仮定を弱める。
• 核および非線形項の最小限の構造的条件の下で、既存の非局所問題の対称性結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 対称的かつ非負の核 $J$ が積分可能性条件 $(J1)$ および $x_1$ 方向における厳密単調性 $(J2)$ を満たすものとして、非局所作用素 $I$ を定義する。
• すべてのテスト関数 $\varphi \in {\mathcal{D}}(\Omega)$ に対して ${\mathcal{J}}(u,\varphi) = \int_\Omega f(x,u)\varphi\,dx$ を満たす弱解を変分的定式化により定義する。
• 線形化された設定において、反対称上位解に対する新しい最大原理を用いて、超平面 $H_\lambda$ に関する反射 $v_\lambda = u - u^\lambda$ を分析する。
• 反対称関数の強い最小原理に基づく背理法を用い、$v_\lambda > 0$ a.e. in $\Omega_\lambda$ ならば、コンパクト集合上で正であることを示す。
• 連続性および連結性の議論を用いて、$\lambda = \ell$ から $\lambda = 0$ へと $v_\lambda$ の正の性質を伝搬させ、対称性を確立する。
• エネルギー推定および比較原理を導くために、双線形形式 ${\mathcal{J}}(u,v) = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N} (u(x)-u(y))(v(x)-v(y))J(x-y)\,dx\,dy$ の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数型および非等方的核をもつ非局所方程式の非負解が、ある超平面に関して対称となる条件は何か？
• RQ2 スケーリング不変性や等方性を欠く非局所作用素に対しても、動平面法を拡張できるか？
• RQ3 反対称最大原理は、非局所問題における対称性および単調性の証明において、どのように機能するか？
• RQ4 核 $J$ および非線形項 $f$ に対するやや弱い単調性および対称性仮定が、解の強力な定性的性質にどのように寄与するか？
• RQ5 径対称性や明示的なグリーン関数を仮定しないで、非自明解について $|x_1|$ に関して厳密に減少することを証明することは可能か？

主な発見

• 非負弱解 $u$ が非局所問題 $(P)$ を満たすとき、Steiner対称領域 $\Omega$ において $x_1$-軸に関して対称である。
• 核 $J$、非線形項 $f$、領域 $\Omega$ に関する与えられた仮定の下で、解 $u$ は $u \equiv 0$ でない限り、$|x_1|$ に関して厳密に単調減少である。
• 証明は、反対称上位解に対する新しい最大原理に依存しており、$v_\lambda \geq 0$ a.e. in $H_\lambda$ ならば、$v_\lambda > 0$ a.e. in compact subsets of $\Omega_\lambda$ であることを保証する。
• 明示的なグリーン関数やコンformal不変性に依存しないため、分数ラプラシアンを超える広範な非局所作用素クラスに適用可能である。
• 最小限の仮定の下で成立する：$J$ は偶関数で、$(J1)$ および $(J2)$ を満たし、$\Omega$ は $x_1$ に関してSteiner対称であり、$f$ はCarathéodory関数で $x_1$ に関して対称的かつ単調である。
• 超平面 $H_\lambda$ に関する解の差 $v_\lambda = u - u^\lambda$ の反対称性が議論の中心であり、そのコンパクト集合における正の性質は背理法と連結性の議論により確立される。