[論文レビュー] Systems of transversal sections near critical energy levels of Hamiltonian systems in $\mathbb{R}^4$

Naiara V. de Paulo, Pedro A. S. Salomão|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4次元ハミルトニアン系において鞍点-中心平衡点を有する臨界値付近のエネルギー準位で、2-3葉状被覆（2つの結合周期軌道を有する特異な葉状被覆）の存在を確立する。シンプレクティック化における擬正則曲線を用いて、リャプノフ軌道（インデックス2）へのホモクリニック軌道の存在を証明し、特定の正則曲線が自己交差するか、無限回交差することを示し、臨界エネルギー準位付近に豊かな力学的構造が存在することを示している。

ABSTRACT

In this article we study Hamiltonian flows associated to smooth functions $H:\mathbb{R}^4 o \mathbb{R}$ restricted to energy levels close to critical levels. We assume the existence of a saddle-center equilibrium point $p_c$ in the zero energy level $H^{-1}(0)$. The Hamiltonian function near $p_c$ is assumed to satisfy Moser's normal form and $p_c$ is assumed to lie in a strictly convex singular subset $S_0$ of $H^{-1}(0)$. Then for all $E>0$ small, the energy level $H^{-1}(E)$ contains a subset $S_E$ near $S_0$, diffeomorphic to the closed $3$-ball, which admits a system of transversal sections $\mathcal{F}_E$, called a $2-3$ foliation. $\mathcal{F}_E$ is a singular foliation of $S_E$ and contains two periodic orbits $P_{2,E}\subset \partial S_E$ and $P_{3,E}\subset S_E\setminus \partial S_E$ as binding orbits. $P_{2,E}$ is the Lyapunoff orbit lying in the center manifold of $p_c$, has Conley-Zehnder index $2$ and spans two rigid planes in $\partial S_E$. $P_{3,E}$ has Conley-Zehnder index $3$ and spans a one parameter family of planes in $S_E \setminus \partial S_E$. A rigid cylinder connecting $P_{3,E}$ to $P_{2,E}$ completes $\mathcal{F}_E$. All regular leaves are transverse to the Hamiltonian vector field. The existence of a homoclinic orbit to $P_{2,E}$ in $S_E\setminus \partial S_E$ follows from this foliation.

研究の動機と目的

• 臨界エネルギー準位付近に鞍点-中心平衡点を有するR⁴におけるハミルトニアン系の力学を研究すること。
• モーザーの正規形を用いて臨界点付近の正規形を簡略化し、エネルギー準位のわずかに上方で、3次元球体近傍に横断的断面系（2-3葉状被覆）を構成すること。
• 擬正則曲線の解析を通じて、リャプノフ周期軌道（コンリーゼンダー指数2）へのホモクリニック軌道の存在を確立すること。
• 結合軌道に漸近する有限エネルギー擬正則曲線の漸近的挙動および交差性を分析すること。

提案手法

• シンプレクティック化における有限エネルギー擬正則曲線の理論を用いて、臨界エネルギー準位付近のハミルトニアン力学を分析する。
• 鞍点-中心平衡点付近のハミルトニアンにモーザーの正規形を適用し、局所的力学を単純化する。
• 臨界エネルギー準位の3次元球体近傍に、コンリーゼンダー指数が2および3の結合軌道を有する特異な葉状被覆（2-3葉状被覆）を構成する。
• 結合軌道付近における擬正則曲線の漸近的挙動を、漸近的作用素の固有セクションを用いて分析する。
• 擬正則曲線のシエフリンの交差理論を用いて、指数2の軌道に近づく曲線が一致するか、無限回交差することを証明する。
• リャプノフ軌道付近のマルティネッティ座標を用いて、分離した分岐の仮定から矛盾を導出し、曲線の自己交差を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元ハミルトニアン系に鞍点-中心平衡点を有する臨界値付近のエネルギー準位に、横断的断面系（2-3葉状被覆）が存在するか？
• RQ2 擬正則曲線技法を用いて、リャプノフ周期軌道（インデックス2）へのホモクリニック軌道の存在を証明できるか？
• RQ3 指数2および指数3の結合軌道に漸近する擬正則曲線の交差性および巻き数性質は何か？
• RQ4 結合軌道の漸近的作用素および固有セクションは、有限エネルギー正則曲線の挙動をどのように制約するか？
• RQ5 同じ結合軌道（インデックス2）に近づく2つの異なる擬正則曲線が、いつ無限回交差する必要があるか？

主な発見

• 小さな正のエネルギーに対して、臨界エネルギー準位の3次元球体近傍に2-3葉状被覆が存在し、コンリーゼンダー指数2および3の結合軌道を有する。
• リャプノフ軌道（インデックス2）は双曲的であり、3次元球体の境界で2つの剛性平面を張るが、インデックス3の軌道は内部で1パラメータ族の平面を張る。
• インデックス3の軌道からインデックス2の軌道へつながる剛性シリンダーが存在し、2-3葉状被覆を完成させ、すべての正則な葉がハミルトニアンベクトル場に対して横断的であることを保証する。
• 葉状被覆構造および擬正則曲線の性質を用いて、インデックス2の結合軌道へのホモクリニック軌道の存在が確立される。
• 異なる曲線が同じ固有セクション方向からインデックス2の軌道に近づく場合、自己交差するか、無限回交差する必要がある。
• 最小の正の固有値に対応する固有セクション（巻き数1）を通じてインデックス2の軌道に近づく曲線は、指数的減衰および巻き数制約のため、一致するか、無限回交差する必要がある。