[論文レビュー] Szeg\"o kernel expansion and embedding of Sasakian manifolds

Hartmut Herrmann, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンpactな準正則サスカリアン多様体上の正のフーリエ係数に対して、シュツェゴ核の漸近展開を確立する。この展開を用いて、このような多様体が、Reebベクトル場を保存する、複素数空間ℂ^NにおけるトランスバーサルCR単純S^1作用を持つサスカリアン部分多様体へのCR埋め込みを有することを証明する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact quasi-regular Sasakian manifold. In this paper, we establish the asymptotic expansion of Szeg\o kernel of positive Fourier coefficients and by using the asymptotics, we show that $X$ can be CR embedded into a Sasakian submanifold of $\mathbb C^N$ with transversal CR \emph{simple} $S^1$ action and this embedding is compatible with the respective Reeb vector fields.

研究の動機と目的

• コンパクトな準正則サスカリアン多様体上で正のフーリエ係数に対するシュツェゴ核の漸近展開を導出すること。
• この展開の幾何的意味を、サスカリアン構造のグローバル幾何および埋め込みに与える影響を調査すること。
• 多様体を、整合性のあるReebベクトル場を有する高次元サスカリアン空間へのCR埋め込みを確立すること。
• 目的多様体が、トランスバーサルCR単純S^1作用を有することを示し、元の多様体の幾何的構造を保存すること。

提案手法

• 正のフーリエモードにおけるスペクトル理論および漸近展開技術を用いたシュツェゴ核の分析。
• 漸近展開を用いて、CR正則関数空間内のセクションの成長および分布を制御すること。
• シュツェゴ核の漸近的性質とその射影性質を用いたCR埋め込みの構成。
• サスカリアン構造の準正則性を活用し、グローバルな円周作用の存在と適切に定義されたフーリエ分解の保証。
• トランスバーサルCR幾何を応用し、目的多様体が整合性のあるS^1作用を引き継ぐことを保証すること。
• 元の多様体のReebベクトル場が埋め込み空間へ等長的に上に持ち上がるかどうかの検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな準正則サスカリアン多様体上で、正のフーリエ係数に対するシュツェゴ核はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 シュツェゴ核の漸近展開を用いて、グローバルなCR埋め込みを構成できるか？
• RQ3 埋め込みは元の多様体のReebベクトル場構造を保存するか？
• RQ4 このような埋め込みの下で、目的多様体はどのような幾何的構造を引き継ぐか？
• RQ5 目的多様体への誘導された作用はトランスバーサル的かつCR単純的か？

主な発見

• シュツェゴ核は、逆フーリエモードの累乗として完全な漸近展開を有し、正のフーリエ係数に対して有効である。
• 漸近展開により、ℂ^N内のサスカリアン部分多様体への適切に定義されたCR埋め込みの構成が可能となる。
• 目的多様体は、元のサスカリアン構造と整合性のあるトランスバーサルCR単純S^1作用を引き継ぐ。
• 元の多様体のReebベクトル場は、埋め込まれた部分多様体のReebベクトル場に正確に対応する。
• 埋め込みは、誘導されたCR構造に関して等長的であり、トランスバーサル正則性の性質を保存する。