[論文レビュー] Szegő kernel expansion and equivariant embedding of CR manifolds with circle action

Hartmut Herrmann, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、横断的CR円周作用を有するコンパクトな強擬凸CR多様体上の正のフーリエ成分のSzegőカーネルの漸近展開を確立する。この展開を用いて、著者たちは等変CR埋め込み定理を証明し、このような多様体が、最小重みを任意に大きくできる単純な$S^1$作用を伴う複素空間$\mathbb{C}^N$に等変に埋め込めることが示される。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact strongly pseudoconvex CR manifold with a transversal CR $S^1$-action. In this paper, we establish the asymptotic expansion of Szegő kernels of positive Fourier components and by using the asymptotics, we show that $X$ can be equivariant CR embedded into some $\mathbb C^N$ equipped with a simple $S^1$-action. An equivariant embedding of quasi-regular Sasakian manifold is also derived.

研究の動機と目的

• 横断的$S^1$作用を伴うコンパクトな強擬凸CR多様体上における正のフーリエ成分のSzegőカーネルの漸近展開を確立すること。
• 解析的手法を用いて、このようなCR多様体の等変埋め込み問題を扱うこと。
• 埋め込みを$\mathbb{C}^N$上での単純な$S^1$作用に関して等変にできるようにすること、かつその作用の最小重みを任意に大きくできることを示すこと。
• 核の漸近的性質による解析的制御と等変性を組み合わせることで、既知の埋め込み結果を拡張すること。

提案手法

• 技術[22, 23]と一般展開結果（定理2.4）を用いて、CR多様体の正則部分におけるSzegőカーネル$S_m$の漸近展開を導出する。
• 正則でない部分における特異性に対処するため、修正された展開（定理2.7）を証明するが、主項における滑らかさの喪失に起因する問題を伴う。
• カーネル展開を用いて、$\mathbb{C}^N$への等変埋め込みをなすCR関数の族を構成する。
• Hsiao [19]の手法を模倣して、重み付き同次座標を用いて埋め込みが$S^1$作用を尊重することを保証する。
• 局所座標と切断関数を用いて、カーネルの減衰を分析し、漸近的領域における矛盾を回避する。
• シュワーツの不等式と$f_m(t)$を用いた背理法により、非対称な構成における非自明なカーネル行動を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横断的$S^1$作用を伴うCR多様体上における正のフーリエ成分のSzegőカーネルは、作用の固定点集合付近でも、漸近展開可能か？
• RQ2 Szegőカーネルの漸近展開は、$\mathbb{C}^N$への等変CR埋め込みの構成を可能にするか？
• RQ3 このような埋め込みにおいて、$\mathbb{C}^N$上での$S^1$作用の最小重みを任意に大きくできるか？
• RQ4 CR構造と円周作用を保ちながら、埋め込みにおける等変性を達成することは可能か？

主な発見

• CR多様体の正則部分において、Szegőカーネル$S_m$は完全な漸近展開を有し、主項が局所的な幾何学的・力学的性質を捉えている。
• 正則でない部分に対しても、修正された漸近展開が成立するが、正則・特異境界を越えて主項が滑らかに変化しない。
• 著者たちは、$\Phi(e^{i\theta} \circ x) = e^{i\theta} \circ \Phi(x)$を満たす等変CR埋め込み$\Phi: X \to \mathbb{C}^N$を構成した。
• 定理1.2における$m_0$を十分に大きくすることで、$\mathbb{C}^N$上での$S^1$作用の最小重みを任意に大きくできる。
• 重み$m_j > m_0$を持つCR関数$\Phi_1, \dots, \Phi_N$を用いて埋め込みが実現され、等変性が保証される。
• $f_m(t)$を用いた背理法とカーネルの減衰により、非対称な構成における非自明なカーネル行動が除外され、埋め込みの一意性と単射性が裏付けられる。