[論文レビュー] T-Duality and Homological Mirror Symmetry of Toric Varieties

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、一貫的構成対応と微小局所幾何学を組み合わせることで、非特異な完全なトーリック多様体におけるT双対性とホモロジカルミラー対称性の明確な関係を確立する。Fukayaカテゴリの双対格子の余接 bundle における等変な正則ラインバンドルのT双対ラグランジュ的ブレーンが、ミラー対称性関手によるその像と同型であることを証明し、等変ホモロジカルミラー対称性がT双対性によって支配されることを示している。

ABSTRACT

Let $X_Σ$ be a complete toric variety. The coherent-constructible correspondence $κ$ of \cite{FLTZ} equates $\Perf_T(X_Σ)$ with a subcategory $Sh_{cc}(M_\bR;\LS)$ of constructible sheaves on a vector space $M_\bR.$ The microlocalization equivalence $μ$ of \cite{NZ,N} relates these sheaves to a subcategory $Fuk(T^*M_\bR;\LS)$ of the Fukaya category of the cotangent $T^*M_\bR$. When $X_\Si$ is nonsingular, taking the derived category yields an equivariant version of homological mirror symmetry, $DCoh_T(X_\Si)\cong DFuk(T^*M_\bR;\LS)$, which is an equivalence of triangulated tensor categories. The nonequivariant coherent-constructible correspondence $\barκ$ of \cite{T} embeds $\Perf(X_\Si)$ into a subcategory $Sh_c(T_\bR^\vee;\barΛ_\Si)$ of constructible sheaves on a compact torus $T_\bR^\vee$. When $X_\Si$ is nonsingular, the composition of $\barκ$ and microlocalization yields a version of homological mirror symmetry, $DCoh(X_Σ)\hookrightarrow DFuk(T^*T_\bR;\barΛ_\Si)$, which is a full embedding of triangulated tensor categories. When $X_\Si$ is nonsingular and projective, the composition $τ=μ\circ κ$ is compatible with T-duality, in the following sense. An equivariant ample line bundle $\cL$ has a hermitian metric invariant under the real torus, whose connection defines a family of flat line bundles over the real torus orbits. This data produces a T-dual Lagrangian brane $\mathbb L$ on the universal cover $T^*M_\bR$ of the dual real torus fibration. We prove $\mathbb L\cong τ(\cL)$ in $Fuk(T^*M_\bR;\LS).$ Thus, equivariant homological mirror symmetry is determined by T-duality.

研究の動機と目的

• トーリック多様体の文脈において、T双対性とホモロジカルミラー対称性の厳密な関係を確立すること。
• トーリック多様体上の等変な完全複体のミラー対称性関手が、T双対性から自然に生じることを示すこと。
• 等変および非等変なミラー対称性の枠組みにおいて、一貫的構成対応と微小局所化を統合すること。
• 等変な正則ラインバンドルのT双対ラグランジュ的ブレーンが、Fukayaカテゴリにおけるミラー対称性関手によるその像と同型であることを示すこと。

提案手法

• トーリック多様体上の等変な完全複体を実ベクトル空間 Mℝ 上の局所定義可能層に結びつけるために、一貫的構成対応（κ）を用いる。
• これらの層をT*Mℝ のアンラップドFukayaカテゴリの対象へ写像するために、微小局所化（μ）を適用する。
• 等変な正則ラインバンドルのヒルベルト計量と平坦接続から、Mℝ の余接 bundle 上のT双対ラグランジュ的ブレーンを構成する。
• Fukayaカテゴリにおいて、T双対ラグランジュ的ブレーンと、合成 τ = μ∘κ によるラインバンドルの像との同型を確立する。
• ミラーマップと等変チャーン形式を用いて、ラインバンドルの幾何とラグランジュ的ブレーンが余接 bundle 内でどの位置にあるかを関連付ける。
• [FLTZ]、[NZ]、[N1] の結果を活用して、A∞圏の文脈におけるモノイダル構造と準同値を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T双対性は、トーリック多様体上の等変ラインバンドルのミラー対称性対応を正確に実現するか？
• RQ2 一貫的構成対応と微小局所幾何学がどのように作用して完全なホモロジカルミラー対称性を生じるか？
• RQ3 等変な正則ラインバンドルのT双対ラグランジュ的ブレーンは、ミラー関手によるその像と同定可能か？
• RQ4 トーリック多様体の等変ホモロジカルミラー対称性は、T双対性によって完全に決定されるか？

主な発見

• 合成 τ = μ∘κ は、非特異かつ完全なトーリック多様体上の等変な完全複体と T*Mℝ のFukayaカテゴリの部分カテゴリとの間でA∞圏の準同値を与える。
• 非特異的射影的トーリック多様体に対して、等変な正則ラインバンドルのT双対ラグランジュ的ブレーンは、Fukayaカテゴリにおいて τ(ℒ) と同型である。
• Fukayaカテゴリにおけるモノイダル構造（積 ⋄ で定義）は、τ による等変ベクトルバンドルのテンソル積と整合する。
• T双対ラグランジュ的ブレーンの構成は、ラインバンドルのヒルベルト計量と平坦接続から生じ、微分幾何学とミラー対称性を結びつける。
• 正則ラインバンドルのミラーポリトープは、トロピカル幾何学におけるアモーバの極限に対応し、代数幾何学とトロピカル手法を結びつける。
• 非等変バージョンのミラー対称性は、T*Tℝ∨ のFukayaカテゴリへの完全埋め込みとして実現され、同じT双対性メカニズムが用いられる。