[論文レビュー] Étale groupoids and their $C^*$-algebras

Aidan Sims|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、ハウスドルフなエタール群コホモロジーに付随する $C^*$-代数の理論について、構造、分類、カルタン対およびディクスミエ–ダウディ理論との関係に焦点を当て、フェル代数をモリタ同値で分類するコhomological不変量 $\delta(A) \in H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$ を確立する。これは連続的トレースの場合の古典的ディクスミエ–ダウディ不変量を一般化する。

ABSTRACT

These notes were written as supplementary material for a five-hour lecture series presented at the Centre de Recerca Mathemàtica at the Universitat Autònoma de Barcelona from the 13th to the 17th of March 2017. The intention of these notes is to give a brief overview of some key topics in the area of $C^*$-algebras associated to étale groupoids. The scope has been deliberately contained to the case of étale groupoids with the intention that much of the representation-theoretic technology and measure-theoretic analysis required to handle general groupoids can be suppressed in this simpler setting. A published version of these notes will appear in the volume tentatively titled "Operator algebras and dynamics: groupoids, crossed products and Rokhlin dimension" by Gabor Szabo, Dana P. Williams and myself, and edited by Francesc Perera, in the series "Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona." The pagination of this arXiv version is not identical to Birkhäuser's style, but I have tried to make it close. The theorem numbering should be correct. I'm grateful to the CRM and Birkhäuser for allowing me to post a version on arXiv.

研究の動機と目的

• エタール群コホモロジーの $C^*$-代数を研究するための、表現論的で最小限のフレームワークを構築すること。
• フェル代数の分類定理を、$H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$ に値をとるコホモロジー的不変量 $\delta(A)$ を用いて確立すること。
• ツイストと層コホモロジーを用いて、フェル代数へとディクスミエ–ダウディ理論を一般化すること。
• 群コホモロジー $C^*$-代数、カルタン部分代数、およびスペクトル不変量の関係を明確にすること。

提案手法

• 畳み込み代数と群コホモロジー表現を用いて、エタール群コホモロジーの全および縮小 $C^*$-代数を構成する。
• 群コホモロジー拡張上の $\mathbb{T}$-作用の引き戻しを用いて、同値関係上のツイストを定義する。
• トポロジカル同値関係 $R$ に対する、ツイストの同型類のなす群 $\mathrm{Tw}_R$ を定義し、ファイバー積による演算をもつ。
• フェル代数 $A$ に対して、スペクトルの層コホモロジーを用いて、$\rho_R: \mathrm{Tw}_R \to H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$ という準同型を構成する。
• カルタン対に付随するツイストの $\rho_R$ による像として不変量 $\delta(A)$ を定義し、対の選び方に依存しないことを示す。
• ラーベルン–テイラー構成を用いて、任意の $H^2(X, \mathcal{S})$ の類が、局所的に局所コンパクトかつ局所ハウスドルフな空間 $X$ に対してフェル代数の不変量として実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール群コホモロジーの $C^*$-代数を、最小限の解析的および表現論的コストでどのように構成できるか？
• RQ2 ツイストと層コホモロジーは、フェル代数の分類においてどのような役割を果たすか？
• RQ3 不変量 $\delta(A)$ は、連続的トレースの場合の古典的ディクスミエ–ダウディ不変量とどのように関係するか？
• RQ4 どのような条件下で $C^*$-代数がスペクトル的およびコホモロジー的データによりモリタ同値となるか？
• RQ5 任意の $H^2(X, \mathcal{S})$ の類が、与えられた局所的に局所コンパクトかつ局所ハウスドルフな空間 $X$ に対して、フェル代数の不変量として実現可能か？

主な発見

• トポロジカル同値関係 $R$ に対するツイストの同型類は、ファイバー積演算に関してアーベル群 $\mathrm{Tw}_R$ をなす。
• 任意のフェル代数 $A$ のスペクトルの層コホモロジーに値をとる、$\mathrm{Tw}_R \to H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$ という準同型 $\rho_R$ が存在する。
• $\delta(A) \in H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$ は適切に定義されており、カルタン対の構成の選び方に依存しない。
• 2つのフェル代数 $A$ と $A'$ がモリタ同値であるための必要十分条件は、$\widehat{A} \to \widehat{A'}$ が同相で、その誘導するコホモロジー群の同型が $\delta(A)$ を $\delta(A')$ に写すことである。
• 任意の局所的に局所コンパクトかつ局所ハウスドルフな空間 $X$ と任意の $\delta \in H^2(X, \mathcal{S})$ に対して、$\widehat{A} \cong X$ かつ $\delta(A) = \delta$ を満たすフェル代数 $A$ が存在する。
• このような代数の構成は、適切な群コホモロジー上のツイストを定義するČechコサイクルを用いた、レーベルン–テイラー法によって達成される。