[論文レビュー] Tamagawa numbers of polarized algebraic varieties

Victor V. Batyrev, Yu. Tschinkel|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、極小的代数的多様体 (V, L) の一般化されたタマガワ数 τₗ(V) を導入し、ペイリのファノ多様体に関する研究を、特異点が canonical である Q-ファノ多様体へと拡張する。アデール的測度と高さゼータ関数を用いて、有理点の高さが有界なものの数に対する漸近公式を導出し、τₗ(V) が漸近的増加の主要項を支配することを示す。トーリック多様体や特異的ファノ多様体（重み付き射影空間や三次超曲面を含む）について明示的な計算が行われる。

ABSTRACT

Let ${\cal L} = (L, \| \cdot \|_v)$ be an ample metrized invertible sheaf on a smooth quasi-projective algebraic variety $V$ defined over a number field. Denote by $N(V,{\cal L},B)$ the number of rational points in $V$ having ${\cal L}$-height $\leq B$. We consider the problem of a geometric and arithmetic interpretation of the asymptotic for $N(V,{\cal L},B)$ as $B o \infty$ in connection with recent conjectures of Fujita concerning the Minimal Model Program for polarized algebraic varieties. We introduce the notions of ${\cal L}$-primitive varieties and ${\cal L}$-primitive fibrations. For ${\cal L}$-primitive varieties $V$ over $F$ we propose a method to define an adelic Tamagawa number $τ_{\cal L}(V)$ which is a generalization of the Tamagawa number $τ(V)$ introduced by Peyre for smooth Fano varieties. Our method allows us to construct Tamagawa numbers for $Q$-Fano varieties with at worst canonical singularities. In a series of examples of smooth polarized varieties and singular Fano varieties we show that our Tamagawa numbers express the dependence of the asymptotic of $N(V,{\cal L},B)$ on the choice of $v$-adic metrics on ${\cal L}$.

研究の動機と目的

• 数体上の準射影的多様体における、有界高さの有理点の漸近的増加の幾何的・算術的解釈を提供すること。
• 特に canonical 特異点をもつ Q-ファノ多様体を含む、特異的極小的多様体へのタマガワ数の概念の拡張すること。
• N(V, L, B) — すなわち L-高さが有界な有理点の数 — の漸近公式における主要定数の計算フレームワークを構築すること。
• 高さゼータ関数とアデール的積分を通じて、有理点の漸近的挙動と多様体の幾何学的性質との間の関係を確立すること。

提案手法

• 有理点の漸近的数え上げにおける主要寄与を分離するために、L-原始的多様体および L-原始的ファイブレーションの概念を導入する。
• V のアデール的空間上に測度 μₗ を定義し、これによりタマガワ数 τₗ(V) をその測度の体積として構成する。
• 高さゼータ関数 Z(s) = ∑_{x∈V(F)} H(x)^{-s} を用い、トーリック多様体に対して、アデール群 A = ⊕_v T(Q_v)/T(O_v) 上でポアソン和公式を適用する。
• タウバーゼンの定理を用いて、Z(s) の解析接続と極構造から、N(V, B) の漸近的挙動を抽出する。
• 対数空間をトーリック多様体のファイブレーションに対応する錐に分割し、ゼータ積分内の局所因子 Q_p(s, im) および Q_∞(s, im) を計算する。
• [7] の主要定理を用いて、主要極における留数を特定し、τₗ(V)、γₖ⁻¹(X)、δ(X) を含む漸近定数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理点数 N(V, B) = c(V)B^a(log B)^{b-1}(1+o(1)) の主要漸近定数 c(V) は、どのように幾何学的・算術的に解釈できるか？
• RQ2 タマガワ数の構成は、滑らかなファノ多様体を超えて、canonical 特異点をもつ特異的極小的多様体へ拡張可能か？
• RQ3 線分束 L における v-進計量の選択が、有界 L-高さの有理点の漸近的増加に及ぼす影響はどの程度か？
• RQ4 高さゼータ関数を用いて、特異点をもつトーリック多様体およびファノ多様体における有理点の漸近的数をどのように計算できるか？

主な発見

• 体 Q 上のトーラス T = G_m^2 に対して、高さ H(x,y) = max{|x|_v, |y|_v, |(xy)^{-1}|_v} をとると、B→∞ のとき N(T,B) = (γₖ⁻¹(X)δ(X)τₖ⁻¹(X)/720) B(log B)^6 (1+o(1)) となる。
• 定数 γₖ⁻¹(X) = 1/36 は、有効除層の双対錐が2つの単体的錐に分解されることから計算される。
• 無限アデール的タマガワ数 τₖ⁻¹(X) は積 τₖ⁻¹(X) = τₖ⁻¹(X)_∞ × ∏_p τₖ⁻¹(X)_p として与えられ、τₖ⁻¹(X)_∞ = 36 かつ 各素数 p に対して τₖ⁻¹(X)_p = (1 + 7/p + 1/p²)(1 - 1/p)^7 である。
• 定数 δ(X) = 1 であり、主要項係数は τₖ⁻¹(X)/720 = (9×4) × ∏_p (1 + 7/p + 1/p²)(1 - 1/p)^7 / 720 で与えられる。
• 本手法は、重み付き射影空間や xyz = u³ である立方曲面を含む、特異的ファノ多様体に対しても漸近的計算に成功し、τₗ(V) が v-進計量の依存性を捉えていることが示された。
• 本フレームワークは、ペイリのタマガワ数を canonical 特異点をもつ Q-ファノ多様体へ一般化し、漸近的点数を統一的に扱うアプローチを提供する。