[論文レビュー] Tamarkin's construction is equivariant with respect to the action of the Grothendieck-Teichmueller group

Vasily Dolgushev, Brian Paljug|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ドリンフェルト分岐体から多項式代数の多項式ベクトル場とホッホシュィルトコホモロジーの $L_∞$ quasi-isomorphism のホモトピー型へのタマルキンの構成が、グローテンディーク＝タイクミュラー群 $\mathsf{GRT}_1$ の作用に関して不変であることを証明する。[22] の結果を用いて、この写像が両端の $\mathsf{GRT}_1$-作用（ドリンフェルト分岐体の側とホモトピー型の $L_\infty$-quasi-isomorphism の側）を尊重することを確立し、文献で以前に述べられていたが証明が与えられていなかった主張を裏付ける。

ABSTRACT

Recall that Tamarkin's construction arXiv:math/9803025, arXiv:math/0003052 gives us a map from the set of Drinfeld associators to the set of homotopy classes of L-infinity quasi-isomorphisms for Hochschild cochains of a polynomial algebra. Due to results of V. Drinfeld (Algebra i Analiz 2, (1990)) and T. Willwacher arXiv:1009.1654 both the source and the target of this map are equipped with natural actions of the Grothendieck-Teichmueller group $GRT_1$. In this paper, we use the result from arXiv:1305.4699 to prove that this map from the set of Drinfeld associators to the set of homotopy classes of L-infinity quasi-isomorphisms for Hochschild cochains is $GRT_1$-equivariant.

研究の動機と目的

• タマルキンの構成が $\mathsf{GRT}_1$-不変であることを厳密に証明すること。これは以前「自明に見える」とされていたが、詳細な証明が欠けていた。
• ドリンフェルト分岐体の集合およびホッホシュィルトコホモロジーと多項式ベクトル場の間の $L_\infty$-quasi-isomorphism のホモトピー型の集合における $\mathsf{GRT}_1$-作用を明確にし、形式化すること。
• 古典的な通常のアフィン空間の設定から、次数付きアフィン空間の設定へタマルキンの構成を一般化すること。
• 不変性に関する主張を完全かつ自己完結的に証明し、専門家間で広く受け入れられているにもかかわらず、文献にギャップが存在する部分を埋めること。

提案手法

• 著者たちは [22] の定理 4.3 を用いて、$\infty$-準同型およびホモトピー型のレベルでの作用を分析することで、タマルキン写像の $\mathsf{GRT}_1$-不変性を確立する。
• ドリンフェルト分岐体上の $\mathsf{GRT}_1$-作用は単純に推移的であると定義され、ターゲット側ではウィルチャーアの $\pi_0(\mathsf{Ger}_\infty \to \mathsf{Braces})$ における作用を介して定義される。
• 証明は、$\mathsf{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom})$ 操作の構造およびその dg リー代数の導分の低次の項が消えることに基づく。
• タマルキンの構成と小さな円盤操作の形式的性を用いて、ドリンフェルト分岐体からホモトピー型の $L_\infty$-quasi-isomorphism への写像 $\mathfrak{B}$ を構成する。
• 中間写像の不変性と既知の作用を組み合わせることで、ドリンフェルト分岐体から $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$ への写像が $\mathsf{GRT}_1$-不変であることを検証する。
• 技術的道具には、フィルター付き $\Lambda^{-1}\mathsf{Lie}_\infty$-代数と畳み込み代数が用いられ、Maurer-Cartan 要素とホモトピーを制御するのを目的としている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト分岐体からホッホシュィルトコホモロジーの $L_\infty$-quasi-isomorphism へのタマルキンの構成は、$\mathsf{GRT}_1$ の作用に関して不変か？
• RQ2 タマルキンの構成の下で、ドリンフェルト分岐体（源）とホモトピー型の $L_\infty$-quasi-isomorphism（標的）における $\mathsf{GRT}_1$-作用はどのように相互作用するか？
• RQ3 $\infty$-準同型および $\mathsf{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom})$ 操作の枠組みを用いて、タマルキンの構成の不変性を厳密に確立できるか？
• RQ4 小さな円盤操作の形式的性、タマルキンの構成、およびホッホシュィルトコホモロジーにおける $\mathsf{GRT}_1$-作用の間の正確な関係は何か？
• RQ5 タマルキン写像の標的における $\mathsf{GRT}_1$-作用は、与えられた分岐体によって誘導される quasi-isomorphism のホモトピー型を保存するか？

主な発見

• ホッホシュィルトコホモロジーと多項式ベクトル場の間の $\mathsf{Ger}_\infty$-から $\mathsf{Braces}$ への quasi-isomorphism のホモトピー型の集合への写像 $\mathfrak{T}$ は $\mathsf{GRT}_1$-不変である。
• 標的空間 $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$ における $\mathsf{GRT}_1$-作用はウィルチャーアの構成によって誘導され、タマルキンの写像と整合的である。
• 源における $\mathsf{GRT}_1$-作用、すなわちドリンフェルト分岐体の集合上では単純に推移的であり、この作用はタマルキンの構成によって標的に一貫して持ち上げられる。
• 主要な技術的入力は [22] の定理 4.3 であり、これは $\mathsf{GRT}_1$-作用が $\infty$-準同型のレベルでうまく定義され、 quasi-isomorphism のホモトピー型と整合することを保証する。
• 著者たちは、導分の dg リー代数 $\mathrm{Der}'(\mathrm{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom}))$ に 0 以上の次数の非ゼロ要素が存在しないことを証明し、これは不変性証明において不可欠である。
• 最終的な写像 $\mathfrak{B}$ がドリンフェルト分岐体から $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$ への写像として $\mathsf{GRT}_1$-不変であることが示され、長年の文献における期待が裏付けられた。