[論文レビュー] Taming singular stochastic differential equations: A numerical method

Khoa Lê, Chengcheng Ling|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、可積分なドリフトがLadyzhenskaya–Prodi–Serrin 条件を満たし、一様強楕円的かつ Hölder 継続的な拡散係数を有する多次元時間不均一性を持つ SDE に対して、tamed Euler–Maruyama スキームを導入する。適切なドリフトの近似のもとで、対数因子を含む $1/2$ 階の強い収束速度を確立し、特異な SDE や確率的輸送方程式の数値解法を可能にする。

ABSTRACT

We consider a generic and explicit tamed Euler--Maruyama scheme for multidimensional time-inhomogeneous stochastic differential equations with multiplicative Brownian noise. The diffusive coefficient is uniformly elliptic, Hölder continuous and weakly differentiable in the spatial variables while the drift satisfies the strict Ladyzhenskaya--Prodi--Serrin condition, as considered by Krylov and Röckner (2005). In the discrete scheme, the drift is tamed by replacing it by an approximation. A strong rate of convergence of the scheme is provided in terms of the approximation error of the drift in a suitable and possibly very weak topology. A few examples of approximating drifts are discussed in detail. The parameters of the approximating drifts can vary and -- under suitable conditions -- be fine-tuned to achieve a strong convergence rate which is arbitrarily close to the benchmark $0.5$ rate. The result is then applied to provide numerical solutions for stochastic transport equations with singular vector fields satisfying the aforementioned condition.

研究の動機と目的

• 標準的な Euler–Maruyama スキームでは扱えない、特異的（可積分的）なドリフトを有する SDE の数値的に安定で収束するスキームの構築を目的とする。
• 一般の一様強楕円的拡散係数を有する SDE に対して、Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin 条件のもとでの強い収束速度に関する未解決問題に取り組む。
• 特異的ベクトル場によって駆動される確率的輸送方程式の数値的近似のための枠組みを提供すること。
• 弱位相におけるドリフトの近似誤差に基づく収束速度の特定を通じて、柔軟で精密な数値スキームの構築を可能にする。

提案手法

• 特異性を回避するためにドリフトを近似 $b^n$ で置き換えた tamed Euler–Maruyama スキームを提案する。
• 区分定数係数を用いた時間離散化スキーム $dX_t^n = b^n(t, X_{k_n(t)}^n)dt + \sigma(t, X_{k_n(t)}^n)dB_t$ を用い、安定性を保証する。
• 切り捨て $b^n_r(x) = b_r(x)\mathbf{1}_{(|b_r(x)| \leq Cn^\chi \|b_r\|_{L_p})}$ やガウスカーネルとの畳み込み $p_{1/n^\chi} * b_r(x)$ などの近似技術を用いる。
• 正則化によるノイズと Zvonkin の変換を用いて、特異的ドリフトの影響を解析的に制御する。
• 確率的シーディングと定量的 Khasminskii の補題を用いて、経路ごとの推定と真の解と近似解の間の誤差を制御する。
• 弱 $L^p$-型位相における $b$ の近似誤差の項で表される誤差のバインドを通じて、強い $L^2$-意味での収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分的であり局所的に有界でないドリフトを有する SDE に対して、安定で収束する数値スキームを構築可能か？
• RQ2 Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin 条件のもとで、tamed Euler–Maruyama スキームが達成可能な最良の強い収束速度は何か？
• RQ3 ドリフトの近似法（切り捨て、畳み込み）の選択が、スキームの収束速度と安定性に与える影響は何か？
• RQ4 このスキームは、特異的ベクトル場によって駆動される確率的輸送方程式に拡張可能か？
• RQ5 ドリフト近似の弱位相が、数値スキームの収束速度に与える役割は何か？

主な発見

• 適切な近似パラメータの調整のもとで、tamed Euler–Maruyama スキームは対数因子を含む $1/2$ 階の強い収束速度を達成する。
• 収束速度は弱 $L^p$-型位相におけるドリフトの近似誤差の観点から導出され、多様な近似スキームの利用を可能にする。
• パラメータを精密に調整した場合、切り捨てや正則化されたドリフト近似（例：ガウスカーネルとの畳み込み）は、同じ収束速度を達成することが示された。
• 本手法は、Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin 条件を満たす特異的ベクトル場によって駆動される確率的輸送方程式に適用可能である。
• 特異的ドリフトの影響を制御するため、確率的シーディング、Zvonkin の変換、定量的 Khasminskii の補題といった高度な道具に依存する解析が行われた。
• 本結果は、可積分ドリフトを有する SDE の数値解析における未解決問題を解決し、マルチレベルモンテカルロ法への計算的実用性のある手法を提供する。