[論文レビュー] Tangent categories of algebras over operads

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非安定モデル圏における豊かみやされたオペラッド上の代数の接カテゴリとオペラッド的モジュールのカテゴリの間でモデル圏的同値性を確立し、以前の∞-圏的結果を拡張する。これは安定化技術と豊かみやされたオペラッドの正規化を用いて達成され、Quillenコホロロジー係数の明示的記述と、豊かみやされた圏の余接複体への応用を可能にする。

ABSTRACT

Associated to a presentable $\\infty$-category $\\mathcal{C}$ and an object $X \\in \\mathcal{C}$ is the tangent $\\infty$-category $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$, consisting of parameterized spectrum objects over $X$. This gives rise to a cohomology theory, called Quillen cohomology, whose category of coefficients is $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$. When $\\mathcal{C}$ consists of algebras over a nice $\\infty$-operad in a stable $\\infty$-category, $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$ is equivalent to the $\\infty$-category of operadic modules, by work of Basterra--Mandell, Schwede and Lurie. In this paper we develop the model-categorical counterpart of this identification and extend it to the case of algebras over an enriched operad, taking values in a model category which is not necessarily stable. This extended comparison can be used, for example, to identify the cotangent complex of enriched categories, an application we take up in a subsequent paper.

研究の動機と目的

• オペラッド上の代数の∞-圏的接∞-カテゴリとオペラッド的モジュールの同定を、モデル圏的設定へ拡張すること。
• 非安定モデル圏における豊かみやされたオペラッド上の代数へこの同定を一般化すること。
• 接カテゴリを用いてQuillenコホロロジー係数の明示的で計算可能な記述を提供すること。
• 豊かみやされた圏の余接複体をこのモデル圏的枠組みを用いて計算する基盤を築くこと。

提案手法

• モデル圏の安定化を用いて、代数上のパrameterized スペクトラム対象として接カテゴリを構成する。
• 分類的ホモトピー余極限の理論を適用し、オペラッド上の代数からその基になる図式圏への忘却関手がこのような余極限を保存することを示す。
• [PS18] の正規化結果を活用し、モデル圏におけるオペラッド上の代数とその∞-圏的同型物との比較を行う。
• 図式圏上の射影的モデル構造のモノイダル構造を用いて、代数内のホモトピー余極限を分析する。
• Σ-コイディエンスなオペラッドの仮定を用いて、代数の接カテゴリとオペラッド的モジュールのカテゴリとの比較を確立する。
• ∞-オペラッドの正規化を用いて、モデル圏のオペラッドに拡張することで、豊かみやされたオペラッドへの比較を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∞-圏的同値性である接∞-カテゴリとオペラッド的モジュールの関係を、モデル圏的レベルに持ち上げることは可能か？
• RQ2 豊かみやされたオペラッド上の代数からその基になる図式圏への忘却関手が、分類的ホモトピー余極限を保存するための条件は何か？
• RQ3 非安定モデル圏における代数の接カテゴリは、オペラッド的モジュールの観点からどのように記述できるか？
• RQ4 このモデル圏的枠組みを用いて、豊かみやされた圏の余接複体を計算することは可能か？
• RQ5 豊かみやされた∞-オペラッドの正規化は、モデル圏的および∞-圏的接カテゴリの比較を確立する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 結合的対称モノイダルモデル圏におけるΣ-コイディエンスで、適切なW-色付きオペラッド上の代数の接カテゴリは、オペラッド的モジュールのカテゴリと同値である。
• このようなオペラッド上の代数からその基になる図式圏への忘却関手は、分類的ホモトピー余極限を保存する。
• オペラッド上の代数のカテゴリの安定化は、オペラッド的モジュールのカテゴリと同値であり、以前の∞-圏的結果をモデル圏的設定に一般化する。
• 正規化を用いることで、この比較結果は豊かみやされたオペラッドへ拡張され、豊かみやされた代数の接カテゴリをオペラッド的モジュールの観点から記述可能になる。
• この枠組みは、Quillenコホロロジーと豊かみやされた圏の余接複体を計算するためのモデル圏的基盤を提供する。