[論文レビュー] Dwyer-Kan localization revisited

Vladimir Hinich|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、∞-圏および単体的圏の文脈においてDwyer-Kan局在化を再考し、ホモトピー可換ナーヴォーと普遍的性質を用いた∞-局在化の普遍的特徴付けを確立する。Quillen対のモデル圏がそれらの下位の∞-圏上に随伴対を誘導することを証明し、右対称モノイダル局在化の概念を導入し、可換環上の複体の∞-圏に関して quasi-isomorphism に関するその存在を証明する。

ABSTRACT

A version of Dwyer-Kan localization in the context of infinity-categories and simplicial categories is presented. Some results of the classical papers by Dwyer and Kan on simplicial localization are reproven and generalized. It is proven that a Quillen pair of model categories gives rise to an adjoint pair of the DK localizations. Also a result on localization of a family of infinity-categories is proven. This, in particular, is applied to localization of symmetric monoidal infinity-categories, where some (partial) results are obtained.

研究の動機と目的

• モデル圏理論における古典的結果を一般化する、∞-圏の文脈におけるDwyer-Kan局在化の普遍的かつ∞-圏的定式化を提供すること。
• 解体のための鍵となる補題を用いて、モデル圏の下位∞-圏に関する古典的結果を再証明・拡張すること。
• モデル圏のQuillen対が、それらの下位∞-圏上に随伴対を誘導することを一般化し、Lurieの単体的Quillen随伴の結果を拡張すること。
• ∞-圏における右対称モノイダル局在化の概念を導入し、特に対称モノイダルモデル圏の文脈でその性質を研究すること。
• 可換環上の複体の∞-圏に関して、quasi-isomorphism に関する右SM局在化の存在を証明すること。

提案手法

• ホモトピー可換ナーヴォーを用いて、ファイブレント単体的圏のDwyer-Kan局在化を普遍的性質を通じて∞-局在化と関連付ける。
• 鍵となる補題（1.3.6）を適用し、対象上で解体条件を満たす関手がDK局在化であることを示す。
• モデル圏の下位∞-圏を、コヒブレント・ファイブレント対象の全部分圏のDK局在化として構成する。
• 右対称モノイダル局在化を、ある矢印の集合を同値へ送る関手として普遍的であるラックス対称モノイダル関手として導入する。
• 局在化の普遍的性質を∞-圏の族に適用し、特定の条件下でホモトピーファイバーと整合することを示す。
• 複体のケースにおいて、局在化がコヒブレント複体の包含関手に対する右随伴として実現されることを証明し、右SM局在化の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dwyer-Kan局在化を普遍的性質を用いた∞-圏の言語でどのように再定式化できるか？
• RQ2 モデル圏のQuillen対は、それらの下位∞-圏上に随伴対を誘導するか？
• RQ3 対称モノイダルモデル圏からその下位∞-圏への移行は、対称モノイダル設定における普遍的構成として記述可能か？
• RQ4 与えられた∞-圏と矢印の集合に対して、右対称モノイダル局在化が存在する条件は何か？
• RQ5 可換環上の複体の∞-圏は、quasi-isomorphism に関して右SM局在化か？

主な発見

• モデル圏のQuillen対は、それらの下位∞-圏上に随伴関手対を誘導する。これは、Lurieの単体的Quillen随伴の結果を一般化する。
• モデル圏の下位∞-圏は、弱い条件のもとで、ファイブレント・コヒブレント対象の全部分圏のDwyer-Kan局在化と同値である。
• ファイブレント単体的圏のハマック局在化のホモトピー可換ナーヴォーは、普遍的性質によって定義された∞-局在化と同値である。
• 可換環上の複体の∞-圏に関して、quasi-isomorphism に関する右SM局在化は存在し、コヒブレント複体の全部分圏の局在化として実現される。
• 局在化の普遍的性質により、任意のラックス対称モノイダル関手がquasi-isomorphism を同値へ送る場合、その関手は一意に局在化を通じて因数分解される。
• 対称モノイダルモデル圏に対して、ホモトピー圏への標準的局在化関手はラックス対称モノイダルであり、コヒブレント対象の∞-圏は右SM局在化を提供する。