[論文レビュー] Symmetries of categorical representations and the quantum Ngô action

Dani Ben‐Zvi, Sam Gunningham|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、再帰的中心化子の群スキームから生じる古典的 Ngô 行動の普遍的量子化を、Whittaker 圏から随伴的等変D-加群へのbraided tensor関手（量子 Ngô 写像）の構成によって確立する。主な結果は、中心的作用を通じるG不変作用素のカテゴリカルな族であり、これにより量子可積分系、キャラクター層、およびキャラクター多様体のコホロジーにおける新しい対称性が得られる。

ABSTRACT

We observe that all classical Hamiltonian systems coming from the invariant polynomials on a reductive Lie algebra g can be integrated in a universal way. This is a consequence of Ngô's action of the group scheme J of regular centralizers in G on all centralizers: the Hamiltonian flows associated to invariant polynomials integrate to an action of J as commutative symplectic groupoid. We quantize the Ngô action, providing a universal integration for all quantum Hamiltonian systems coming from the center Z=Z(Ug) of the enveloping algebra. Namely we extend Kostant's Whittaker description of Z to the action of a commutative quantum groupoid Wh, the bi-Whittaker Hamiltonian reduction of $D_G$, which also integrates all quantum Hamiltonian systems coming from the action of Z. These actions come from a braided tensor functor, the quantum Ngô map, from the W-category (modules for Wh) to adjoint-equivariant D-modules on G, giving a categorical family of G-invariant commuting operators on any strong G-category. This action also leads to a notion of Langlands parameters for categorical representations of G, refined central character for character sheaves, and a new symmetry of homology of character varieties. We derive our construction as the Langlands dual form of a simple symmetry principle for groupoids. Namely the symmetric monoidal category of equivariant sheaves (modules for the groupoid algebra) acts centrally on the corresponding convolution category. In particular modules for the nil-Hecke algebra for any Kac-Moody group act centrally on the corresponding Iwahori-Hecke category. We deduce both the Ngô action and its quantization from the case of the Langlands dual equivariant affine Grassmannian using the renormalized Geometric Satake theorem of Bezrukavnikov-Finkelberg.

研究の動機と目的

• 普遍包あらゆる代数 𝔘𝔤 の中心に関連する古典的ハミルトニアン系の普遍的量子化を提供すること。
• 量子 Ngô 写像をbraided tensor関手として用いることで、G不変作用素のカテゴリカル枠組みを構築すること。
• bi-Whittakerハミルトニアン還元と nil-DAHA を用いて、古典的 Ngô 行動を量子的設定に拡張すること。
• カテゴリカル表現およびキャラクター層のためのLanglandsパラメータと精密化された中心的特徴を定義すること。
• 量子行動を通じて、表面のキャラクター多様体のホモロジーにおける新しい可換対称性を解明すること。

提案手法

• GのLanglands双対群 G∨ のアフィングラスマンジャンに等変層の圏としてW-圏を特定するため、正規化された幾何的 Satake 定理を用いる。
• Whittaker 圏 ℂWh から D(G//ad G) の畳み込み圏の中心へのbraided monoidal関手として、量子 Ngô 写像を構成する。
• D-加群代数 DG のbi-Whittaker還元を通じて、量子 Kostant 切片を実現し、可換な量子群ガロイド ℚWh を得る。
• 等変層の対称的モノイド構造を活用して、cocommutative Hopf アイデオイド構造を通じて畳み込み圏への中心的作用を定義する。
• 量子設定におけるコホモロジー的次数と変形を取り扱うために、ind-holonomic D-加群およびフィルター付きD-加群の形式的枠組みを適用する。
• 水平移動変換と放物型誘導/制限を用い、Whittaker 圏と球的ヘッケ圏との関係を確立し、局所化後にMorita同値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的中心に関連する古典的 Ngô 行動は、どのようにして普遍的量子化され、量子ハミルトニアン系をもたらすか？
• RQ2 G不変D-加群上での量子群ガロイド ℚWh の作用の背後にあるカテゴリカル構造は何か？
• RQ3 量子 Ngô 写像は幾何的表現論におけるG不変作用素の普遍的族をどのように提供するか？
• RQ4 量子行動はカテゴリカル表現のためのLanglandsパラメータの概念をどのように精緻化するか？
• RQ5 量子 Ngô 行動は、表面のキャラクター多様体のコホロジーにどのような新しい対称性を誘発するか？

主な発見

• 量子 Ngô 写像は、Whittaker 圏 ℂWh から畳み込み圏 D(G//ad G) のDrinfeld中心へのbraided tensor関手として実現され、量子可積分性の普遍的メカニズムを提供する。
• 量子群ガロイド ℚWh の作用は、KostantのWhittakerによる中心 𝔻𝔤 の記述を可換な量子群ガロイドに統合し、古典的 Ngô 行動を一般化する。
• この構成により、W-圏の中心的作用を通じて、任意の強いG-カテゴリ上にG不変作用素のカテゴリカル族が得られる。
• 局所化後、量子 Ngô 写像は、対称的モノイド圏がそのDrinfeld中心への自然な埋め込みと同値になることから、既知の構成と整合性を確認する。
• 量子行動は、表面のキャラクター多様体のホモロジーに、古典的モノドロミー作用を一般化する新しい可換対称性を誘発する。
• アーベルの場合（G = T）、量子 Ngô 写像はコキャラクター格子の作用群ガロイドの畳み込み代数を介して明示的に実現され、正規化されたSatake同値性を確認する。