[論文レビュー] Tautological relations via r-spin structures

Rahul Pandharipande, Aaron Pixton+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、r ≥ 3 に対して r-スピン理論を用いて安定曲線のモジュライ空間上の同値関係を確立する。sl₂(ℂ)表現論を用いて genus 0 の r-スピン相関関数の明示的公式を導出し、2つの半単純点における Givental-Teleman 分類を適用することにより、Witten の r-スピン類の閉形式表現が得られ、r に関する新しい多項式性を証明する。r=4 の関係は、R*(M_g) のベッチ数に対する新たな境界を与える。また、r=0 における r-スピン類の極限が、指定された零点の重複度を持つ正則微分形式のモジュライ空間に対応するという予想が提示される。

ABSTRACT

Relations among tautological classes on the moduli space of stable curves are obtained via the study of Witten's r-spin theory for higher r. In order to calculate the quantum product, a new formula relating the r-spin correlators in genus 0 to the representation theory of sl2 is proven. The Givental-Teleman classification of CohFTs is used at two special semisimple points of the associated Frobenius manifold. At the first semisimple point, the R-matrix is exactly solved in terms of hypergeometric series. As a result, an explicit formula for Witten's r-spin class is obtained (along with tautological relations in higher degrees). As an application, the r=4 relations are used to bound the Betti numbers of the tautological ring of the moduli of nonsingular curves. At the second semisimple point, the form of the R-matrix implies a polynomiality property in r of Witten's r-spin class. In the Appendix (with F. Janda), a conjecture relating the r=0 limit of Witten's r-spin class to the class of the moduli space of holomorphic differentials is presented.

研究の動機と目的

• M̄_{g,n} 上の同値関係の研究を、r=3 を超えて高次の r-スピン理論を用いて拡張すること。
• sl₂(ℂ) の表現論を用いて、genus 0 の r-スピン相関関数の明示的公式を導出すること。
• 2つの半単純点における CohFT の Givental-Teleman 分類を適用し、R-行列と Witten の r-スピン類を特定すること。
• Witten の r-スピン類が r に関して示す新しい多項式性を証明すること。
• r=0 における r-スピン類の自然な極限が、指定された零点を持つ正則微分形式のモジュライ空間に対応するという関係を予想すること。

提案手法

• genus 0 の r-スピン相関関数を sl₂(ℂ) の表現論に結びつける新しい公式を導出し、量子積の明示的計算を可能にする。
• 半単純点 τ = (0,…,0,rϕ) における Givental-Teleman 分類を用いて、超幾何級数の形で R-行列を厳密に解く。
• 2番目の半単純点 τ̃ = (0,rϕ,0,…,0) において、R-行列の形を解析し、Witten の r-スピン類の r に関する多項式性を導出する。
• genus 0 の公式と CohFT 構造を用いて、高次の同値関係を導出する。
• r=4 の関係を用いて、R*(M_g) のベッチ数を評価し、特に次数 g−2 において評価する。
• 付録では、r=0 における r-スピン類の極限が、指定された零点の重複度を持つ正則微分形式のモジュライ空間のクラスに対応するという予想を提示し、M_g,n 上で Thom-Porteous と Grothendieck-Riemann-Roch を用いて検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r ≥ 3 に対して、r-スピン理論を用いて、既知の 3-スピンの場合を超えて、M̄_{g,n} 上の同値関係を体系的に導出可能か？
• RQ2 genus 0 の r-スピン相関関数の明示的構造は何か？ また、sl₂(ℂ) の表現論を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 Witten の r-スピン類は r に関して多項式的依存性を示すか？ もしそうなら、その多項式性の形は何か？
• RQ4 r=4 の関係は、3-スピン関係よりも単純かつ効果的な方法で R*(M_g) のベッチ数を評価できるか？
• RQ5 r=0 における r-スピン類の自然な極限は、指定された零点の重複度を持つ正則微分形式のモジュライ空間に対応するか？

主な発見

• Witten の r-スピン類の正確な公式が、sl₂(ℂ) の表現論に表現された genus 0 の r-スピン相関関数を用いて得られた。
• 最初の半単純点 τ = (0,…,0,rϕ) における R-行列は、超幾何級数を用いて明示的に解かれ、量子積の完全な記述が得られた。
• 2番目の半単純点 τ̃ = (0,rϕ,0,…,0) における R-行列の形から、Witten の r-スピン類が r に関して多項式的であることが示された。
• r=4 の関係により、R*(M_g) のベッチ数に対する新たな境界が得られ、Looijenga の結果 dim_Q R^{g−2}(M_g) ≤ 1 および R^{>g−2}(M_g) = 0 を回復・強化した。
• 付録の予想では、r=0 における r-スピン類の極限が、指定された零点の重複度を持つ正則微分形式のモジュライ空間のクラスと一致するとされ、Thom-Porteous および Grothendieck-Riemann-Roch を用いて M_g,n 上で一致が確認された。
• 結果として、Looijenga の g−2 次における消滅性およびランク1性は、Faber-Zagier の関係から導かれることが示され、これらの関係が R^{g−2}(M_g) 内の κ-モノポールの既知の比例関係をも導くことがわかった。