[論文レビュー] Taxicab Angles and Trigonometry

Kevin P. Thompson, Tevian Dray|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

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ひとこと要約

この論文は、タクシーメトリックを用いて、タクシーコスト幾何学における角度および三角関数の自然な定義を提示する。tラジアンは、単位タクシーコスト円周上での弧長1をなす角として定義される。タクシーコスト幾何学における角度の測定式を導出し、合同な三角形には厳密な条件（三辺と二つの角）が必要であることを示し、ユークリッド距離を計算する正確なパララックス法を提示する。これは、標準的なユークリッド近似とは対照的である。

ABSTRACT

A natural analogue to angles and trigonometry is developed in taxicab geometry. This structure is then analyzed to see which, if any, congruent triangle relations hold. A nice application involving the use of parallax to determine the exact (taxicab) distance to an object is also discussed.

研究の動機と目的

• タクシーコスト幾何学における角度および三角関数の定義を、ユークリッド三角関数に類似した一貫性のあるものに開発すること。
• 非ユークリッド的性質を有するこの幾何学において、タクシーコスト距離の下で成立する三角形合同関係を分析すること。
• パララックスを用いた遠方の物体までの距離を、タクシーコスト幾何学で正確に測定する方法を提示すること。これは、標準的なユークリッド近似とは対照的である。
• タクシーコストおよびユークリッドのパララックス公式の間の関係を確立し、ユークリッドの公式が小さい角度にのみ有効な近似であることを示すこと。

提案手法

• 単位タクシーコスト円周上での弧長1をなす角をtラジアンとして定義し、この円周の全長は8 tラジアンである。
• 標準位置にあるユークリッド角のタクシーコスト測定値を求めるための公式を導出：$ \theta = \frac{2\sin_e\phi_e}{\sin_e\phi_e + \cos_e\phi_e} $。
• 参考角および三角関数の恒等式を用いて、非標準位置の角度に対しても公式を拡張する。
• 平行移動および反射などの幾何変換を用いて、パララックス測定における角度と距離の関係を関連付ける。
• タクシーコスト弧長公式 $ \ell = r \cdot \theta $ を用いて、正確な距離公式 $ d = \frac{s}{\beta - \alpha} $ を導出する。ここで $ s $ は基線長、$ \beta - \alpha $ はタクシーコストパララックス角である。
• ユークリッド距離および角度を代入することで、タクシーコストおよびユークリッドのパララックス公式を結びつけ、ユークリッドの公式が小さい角度にのみ有効な近似であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タクシーコスト幾何学において、ユークリッド三角関数に類似した一貫性のある角度および三角関数の定義をどのように確立できるか？
• RQ2 タクシーコスト幾何学において、どの三角形合同関係が成立するのか。また、どのような厳密な条件が必要か？
• RQ3 パララックス法による距離測定を、タクシーコスト幾何学で正確に行うことは可能か。また、標準的なユークリッド手法と比べてどう異なるか？
• RQ4 正確なタクシーコストパララックス公式と、一般的に用いられるユークリッド近似との関係は何か？

主な発見

• タクシーコスト単位円の円周は8 tラジアンであるため、1周は8 tラジアンであり、直角は正確に2 tラジアンである。
• ユークリッド角のタクシーコスト測定値は、その大きさだけでなく、その向きにも依存するため、この幾何学では角度は回転不変ではない。
• タクシーコスト幾何学における合同な三角形には、三辺と二つの角がすべて合同でなければならない。これは、SAS や ASA といった標準的な合同定理が成り立たないことを示している。
• パララックスを用いた距離の正確な公式が導出された：$ d = \frac{s}{\beta - \alpha} $。ここで $ s $ は基線長、$ \beta - \alpha $ はタクシーコストパララックス角であり、近似ではなく正確な結果が得られる。
• 標準的なユークリッドパララックス公式 $ d_e \approx \frac{s_e}{\beta_e - \alpha_e} $ は、小さい角度にのみ有効な近似であることが示され、同じ幾何的設定下でタクシーコスト版は正確である。
• 導出により、$ y = x $ または $ y = -x $ に沿って移動しても、標的までの距離が保たれることが確認され、タクシーコスト幾何学における正確なパララックス測定が可能であることが裏付けられた。