[論文レビュー] Tension Bounds for Information Complexity

Manoj Prabhakaran, Vinod M. Prabhakaran|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、情報複雑度と「緊張」の間の新しい接続を提示する。緊張とは、プロトコルに依存しない情報理論的相関尺度である。著者らは、緊張を用いることで、特に独立入力を持つ関数に対して、より強い下界を導出し、従来の差異に基づく下界を定量的に改善する。通信複雑度および暗号的複雑度への応用を含む。

ABSTRACT

The main contribution of this work is to relate information complexity to "tension" [Prabhakaran and Prabhakaran, 2014] - an information-theoretic quantity defined with no reference to protocols - and to illustrate that it allows deriving strong lower-bounds on information complexity. In particular, we use a very special case of this connection to give a quantitatively tighter connection between information complexity and discrepancy than the one in the work of Braverman and Weinstein (2012) (albeit, restricted to independent inputs). Further, as tension is in fact a multi-dimensional notion, it enables us to bound the 2-dimensional region that represents the trade-off between the amounts of communication in the two directions in a 2-party protocol. This work is also intended to highlight tension as a fundamental measure of correlation between a pair of random variables, with rich connections to a variety of questions in computer science and information theory.

研究の動機と目的

• 情報複雑度と緊張の間の正式な関係を確立すること。緊張は、プロトコル依存のない相関の基本的尺度である。
• 緊張が、既存の手法よりも強い情報複雑度の下界を可能にすることを示すこと。
• 緊張の多次元的性質が、2者間プロトコルにおける双方向通信のトレードオフを制限できることを示すこと。
• 緊張が情報理論の基盤的ツールであり、通信複雑度および暗号学に広範な影響を持つことの意義を強調すること。
• 相互情報量と共通情報量の差を用いた、より緊密な情報複雑度の下界を導出するフレームワークを提供すること。

提案手法

• Gács-KörnerおよびWynerの共通情報の概念を用いて、緊張を相互情報量と共通情報量の差として定義する。
• 入力出力ペア (X,Y) および (X,Z;Y,Z)（ただし Z=f(X,Y)）の緊張領域を用いて、情報複雑度を束縛する。
• 入力空間を長方形に分割するための確率変数 R を導入し、確率が α より小さい小長方形とそれ以外の長方形を区別する。
• ある補題を適用して、小長方形に属する確率と関数 f の差異 Δ を用いて、相互情報量 I(XY;Q′) の下界を求める。
• α = Δ/ε と設定することで、最適化を行い、ε·log(ε/Δ) = ω(1) の条件下で、緊張の下界が ε·log(ε/Δ) のオーダーとなることを得る。
• 緊張がプロトコル構造に依存しないことを利用し、情報複雑度に対するプロトコルに依存しない下界を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロトコルに依存しない相関尺度たる緊張を用いて、情報複雑度の強い下界を導出できるか？
• RQ2 入力と出力ペア (X,Y) および (X,Z;Y,Z) 間の緊張は、f(X,Y)=Z を計算する情報複雑度とどのように関係するか？
• RQ3 特に独立入力に対して、緊張が従来の研究よりも情報複雑度と差異の関係をより緊密にできるか？
• RQ4 緊張の多次元的性質が、2方向通信プロトコルにおける通信のトレードオフをどの程度制限できるか？
• RQ5 安全なマルチパーティ計算および暗号的複雑度の文脈において、高緊張の運用的意味は何か？

主な発見

• 本稿では、出力ペア (XZ;YZ) の緊張が情報複雑度の下界を示すことが確立され、具体的には T_Wyn(XZ;YZ) ≥ (2ε − Δ/α)/(1 − Δ/α) · (½ log(1/α) − 1) − 3 が成り立つ。
• 入力が独立である場合、情報複雑度領域は (XZ;YZ) の緊張領域に含まれるため、強い下界が得られる。
• α = Δ/ε と設定することで、条件 ε·log(ε/Δ) = ω(1) の下で、T_Wyn(XZ;YZ) ≥ ε·log(ε/Δ)·(1−o(1)) に簡略化され、従来の差異に基づく下界を改善する。
• この手法により、独立入力に制限された場合、[BW12] よりも定量的に緊密な情報複雑度と差異の関係が得られる。
• 緊張が相関の根本的尺度であることが示され、暗号的複雑度および安全計算における運用的意義を持つ。
• このフレームワークにより、緊張領域の多次元的構造を活用することで、2者間プロトコルにおける2次元通信トレードオフ領域を束縛できる。