[論文レビュー] Tensor network non-zero testing

Sevag Gharibian, Zeph Landau+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2014

Quantum many-body systems参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、テンソルネットワークの非ゼロテスト（TNZ）の計算複雑性を調査し、一般のTNZが多項式階層（PH）に属するとは考えにくいことを示している。非負および単射テンソルネットワークではTNZがNPで扱えることを示し、$k \in O(\log n)$ および定数の局所次元 $D$ を持つ可換ストーキュラス $k$-SAT に対する、初めての既知のNP上界を可能にした。これは、広範な条件下で可換な量子ハミルトニアンの新たなクラスがNPに属することを示している。

ABSTRACT

Tensor networks are a central tool in condensed matter physics. In this paper, we study the task of tensor network non-zero testing (TNZ): Given a tensor network T, does T represent a non-zero vector? We show that TNZ is not in the Polynomial-Time Hierarchy unless the hierarchy collapses. We next show (among other results) that the special cases of TNZ on non-negative and injective tensor networks are in NP. Using this, we make a simple observation: The commuting variant of the MA-complete stoquastic k-SAT problem on D-dimensional qudits is in NP for logarithmic k and constant D. This reveals the first class of quantum Hamiltonians whose commuting variant is known to be in NP for all (1) logarithmic k, (2) constant D, and (3) for arbitrary interaction graphs.

研究の動機と目的

• テンソルネットワークが非ゼロのベクトルを表すかどうかを決定する計算複雑性を特定すること。
• 特に非負および単射テンソルネットワークを含む、テンソルネットワーク非ゼロテストの特殊ケースの複雑性を分析すること。
• 可換 $k$-局所ハミルトニアン問題および量子計算複雑性理論におけるストーキュラス $k$-SAT への影響を確立すること。
• 可換 $k$-局所ハミルトニアン問題がNPに属する条件を特定すること、特に $k$ が対数的であり、局所次元 $D$ が定数である場合を想定する。

提案手法

• 入力パrameter $\alpha \geq \beta \geq 0$ およびギャップ $\alpha - \beta \geq 1$ を持つ一般化されたテンソルネットワーク非ゼロテスト（gTNZ）問題の形式化。
• 一般のgTNZが $\#P$-困難であり、多項式階層 $\Sigma_i^p$ に属さないことを証明し、PHが崩壊しない限りTNZは $\Sigma_i^p$ に属さない。
• 非負テンソルネットワークが、非ゼロノルムを持つ証明者状態の非決定的検証によりNPに還元できることを示している。
• 可換項のスペクトル射影子を用いて、可換 $k$-局所ハミルトニアン問題からTNZへの非決定的多項式時間還元を構築している。
• ストーキュラスハミルトニアンの非負の要素を持つ構造を活用し、その基底状態の存在問題がNPに属することを示している。
• 単射テンソルネットワークの性質を用いて、非ゼロネットワークを特徴づけ、複雑性の上限を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のテンソルネットワーク非ゼロテスト問題は多項式階層に属するか？ もし属さないとすれば、その結果は何か？
• RQ2 非負テンソルネットワークの場合はNPで解けるか？ どのような構造的性質がこれを可能にするか？
• RQ3 非ゼロテンソルネットワークをNPでテストできるという事実が、$k \in O(\log n)$ および $D \in O(1)$ の条件下で可換 $k$-局所ハミルトニアン問題がNPに属することを示唆するか？
• RQ4 可換ハミルトニアンから導かれるテンソルネットワークの特定の構造を活用することで、$k$-CLH をNPに配置できるか？
• RQ5 G-単射テンソルネットワークのTNZの複雑性は何か？ これにより、単射または非負のケースと比較してどうなるか？

主な発見

• 一般のテンソルネットワーク非ゼロテスト（TNZ）は、多項式階層 $\Sigma_i^p$ に属さない。これは、PHが $\Sigma_{i+2}^p$ に崩壊する場合に限る。これは、強い計算困難性を示している。
• 非負テンソルネットワークの特殊ケースではTNZがNP完全である。3-正則グラフかつ結合次元3に対しても同様に成り立つ。
• 可換ストーキュラス $k$-SAT は、$k \in O(\log n)$ および局所次元 $D \in O(1)$ の場合、テンソルネットワークの非負構造のおかげでNPに属する。
• 可換 $k$-局所ハミルトニアン問題からTNZへの非決定的多項式時間還元が、$k \in O\left(\log n\right)$ および $D \in O(1)$ の場合に存在する。
• 単射テンソルネットワークは、非ゼロのベクトルを常に表現するが、逆は成り立たない。これは、単射性が非ゼロ出力の十分条件ではあるが、必要条件ではないことを示している。
• 本結果により、すべての対数的 $k$、定数 $D$、任意の相互作用グラフに対して、可換バージョンがNPに属する量子ハミルトニアンのクラスが、初めて知られたものとなった。