[論文レビュー] Tensor networks as conformal transformations

Ashley Milsted, Guifré Vidal|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Quantum many-body systems参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本論文は、臨界量子スピン鎖における非一様（局所的）なコンフォーマル変換——特に非一様なユークリッド時間発展とスケール変換——をテンソルネットワークを用いて実装する手法を提案する。断片化されたテンソルネットワーク層の端に特化した「スムージング」テンソルを導入することで、著者らは、低エネルギー状態において、コンフォーマル場理論（CFT）の変換を正確に再現できることを示した。臨界イジング鎖における数値的検証により、コンフォーマル塔内での正確な対角作用と、非一様写像における正しい行列要素が得られることを確認した。

ABSTRACT

Tensor networks are often used to accurately represent ground states of quantum spin chains. Two popular choices of such tensor network representations can be seen to implement linear maps that correspond, respectively, to euclidean time evolution and to global scale transformations. In this paper, by exploiting the local structure of the tensor networks, we explain how to also implement local or non-uniform versions of both euclidean time evolution and scale transformations. We demonstrate our proposal with a critical quantum spin chain on a finite circle, where the low energy physics is described by a conformal field theory (CFT), and where non-uniform euclidean time evolution and local scale transformations are conformal transformations acting on the Hilbert space of the CFT. We numerically show, for the critical quantum Ising chain, that the proposed tensor networks indeed transform the low energy states of the periodic spin chain in the same way as the corresponding conformal transformations do in the CFT.

研究の動機と目的

• 臨界量子スピン鎖におけるグローバルなテンソルネットワーク写像（ユークリッド時間発展およびスケール変換）を、局所的かつ非一様なバージョンへ拡張すること。
• 離散的な構造によって明示的に破れているが、格子モデルにおける随伴的コンフォーマル対称性を回復すること。
• テンソルネットワークとコンフォーマル場理論の変換を結びつける幾何的解釈を提供すること。
• 曲がった時空における相互作用する量子場理論を非摂動的枠組みで研究する基盤を確立すること。

提案手法

• ユークリッドン（時間発展用）およびMERAテンソル（スケール変換用）からなる断片化されたテンソルネットワーク層を設計し、インデックスの不一致を解消するため両端にスムージングを設置する。
• 特異値分解と等長制約を用いた変分最適化によりスムージングを構築し、元のテンソルネットワーク構造と整合性を保つ。
• 転送行列の主要固有ベクトルを用いて、低エネルギーCFT状態への写像を保持する最適なスムージングパラメータを決定する。
• 得られたテンソルネットワークを臨界量子イジング鎖に適用し、低エネルギー状態における作用を正確なCFT予測と比較する。
• 写像がコンフォーマル塔内で対角的であることを確認し、非一様コンフォーマル変換の正しい行列要素を再現することを検証する。
• 格子ハミルトニアンの数値的対角化とCFTの一次元状態への一致を用いて、テンソルネットワーク写像を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 端にスムージングを追加した断片化されたテンソルネットワークは、臨界スピン鎖の領域における非一様ユークリッド時間発展を実装できるか？
• RQ2 これらの非一様写像は、CFTのコンフォーマル塔内での対角構造を保っているか？
• RQ3 スピン鎖における低エネルギー状態間の行列要素が、CFTにおける正確なコンフォーマル変換のものと一致するか？
• RQ4 スムージングを体系的に構築することで、テンソルネットワーク写像における整合性と正確性を保証できるか？
• RQ5 これらのテンソルネットワークは、格子モデルの低エネルギー極限において、どの程度コンフォーマル対称性を回復するか？

主な発見

• スムージングを備えた提案されたテンソルネットワークは、臨界イジング鎖の有限領域において、CFTにおけるコンフォーマル変換の期待される作用を正確に実装できた。
• 写像は各コンフォーマル塔内で対角的であることが確認され、低エネルギー状態がCFTの予測通りに変換されることを裏付けた。
• テンソルネットワークを介して計算された低エネルギー状態間の行列要素は、非一様時間発展における対応するCFT予測と正確に一致した。
• スムージングは正確な写像に不可欠である：それらがなければ、インデックスの不一致と不適切な接続性により、コンフォーマル変換が正しく得られなかった。
• この構築により、格子上では破れているが、テンソルネットワークの局所的構造と最適化されたスムージングのおかげで、低エネルギー物理学において再びコンフォーマル対称性が出現することが示された。
• 本手法は、非摂動的かつ数値的に検証された枠組みを提供し、曲がった時空における量子多体系のコンフォーマル変換をシミュレートするものであり、曲がった時空における量子場理論への応用が期待される。