[論文レビュー] The 2-adic ring $C^*$-algebra of the integers and its representations

Nadia S. Larsen, Xin Li|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、整数の2進数環C*-代数を表す$ mathcal{Q}_2$を、Cuntz代数$ mathcal{O}_2$および$ax+b$-半群C*-代数$ mathcal{Q}_{ mathbb{N}}$の非自明な一般化として導入する。2進数の双対性定理を確立し、$ mathbb{Q}_2$および$ mathbb{R}$上のクローズド積のモリタ同値性を示し、$ mathcal{Q}_2$の標準的表現を$C_0( mathbb{R}) \rtimes \nmathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上の対応する表現に移す明示的な実現可能双モジュールを構成する。これにより、$ mathcal{Q}_2$は$ mathcal{O}_2$および実数／2進数のクローズド積の両者と結びつく。

ABSTRACT

We study the 2-adic version of the ring $C^*$-algebra of the integers. First, we work out the precise relation between the Cuntz algebra $\cO_2$ and our 2-adic ring $C^*$-algebra in terms of representations. Secondly, we prove a 2-adic duality theorem identifying the crossed product arising from 2-adic affine transformations on the 2-adic numbers with the analogous crossed product algebra over the real numbers. And finally, as an outcome of this duality result, we construct an explicit imprimitivity bimodule and prove that it transports one canonical representation into the other.

研究の動機と目的

• 2-adic ring C*-代数$ mathcal{Q}_2$を、$ mathcal{O}_2$および$ mathcal{Q}_{ mathbb{N}}$の非自明な一般化として定義し、研究すること。
• $ mathcal{O}_2$の表現と$ mathcal{Q}_2$の表現の間の正確な関係を明確にし、特にどの$ mathcal{O}_2$-表現が$ mathcal{Q}_2$に拡張可能であるかを特定すること。
• 2-adic duality theoremを確立し、$ mathbb{Q}_2$上のクローズド積と$ mathbb{R}$上の対応するクローズド積との間のモリタ同値性を同定すること。
• $ mathcal{Q}_2$と$C_0( mathbb{R}) \rtimes \nmathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$の間のモリタ同値性を実装する明示的な実現可能双モジュールを構成し、$ ell^2(\nmathbb{Z})$および$C_0(\nmathbb{R})$上の標準的表現を保存すること。

提案手法

• 著者たちは、2進数の乗法的作用を表す関係を満たす等長作用素$s_n$とユニタリ作用素$u$によって生成される、普遍的C*-代数として$ mathcal{Q}_2$を定義する。
• 彼らは、$ mathcal{Q}_2$を半群クローズド積$C_0(\nmathbb{Z}_2) \rtimes \nmathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$として実現し、$ mathcal{Q}_{\nmathbb{N}}$の構造を2進数の文脈に拡張する。
• 拡張理論を用いて、$ mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$群が$C_0(\nmathbb{Q}_2)$および$C_0(\nmathbb{R})$に作用するクローズド積と関連づけ、モリタ同値を介した双対性を確立する。
• 誘導表現とフーリエ変換を用いて、$ mathcal{Q}_2$と$C_0(\nmathbb{R}) \rtimes \nmathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$の間の具体的な実現可能双モジュールを構成する。
• この双モジュールが、$ mathcal{Q}_2$の$ ell^2(\nmathbb{Z})$上の標準的表現と、$C_0(\nmathbb{R}) \rtimes \nmathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上の誘導表現との間のユニタリ同値性を実装することが示される。
• 彼らはZhangの二分法を適用し、$ mathbb{R}$および$ mathbb{Q}_2$上のクローズド積が同型であると主張するが、明示的な同型写像は構成されていない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{O}_2$の表現のうち、どの表現が2-adic ring C*-代数$\mathcal{Q}_2$に拡張可能か。
• RQ2 表現論の観点から、2-adic ring C*-代数$\mathcal{Q}_2$はCuntz代数$\mathcal{O}_2$とどのように関係しているか。
• RQ3 $\mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$群による$C_0(\mathbb{Q}_2)$のクローズド積と、$\mathbb{R}$上の対応するクローズド積との間に双対性があるか。
• RQ4 モリタ同値性を実装する明示的な実現可能双モジュールを$\mathcal{Q}_2$と$\mathbb{R}$上のクローズド積の間で構成可能か。
• RQ5 この双モジュールが、$\ell^2(\mathbb{Z})$上の$\mathcal{Q}_2$の標準的表現を、$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上の標準的表現に移すか。

主な発見

• $\mathcal{Q}_2$は、任意の環$R$に対する$\mathfrak{A}[R]$構成の特別な場合ではないが、$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$および$\mathcal{O}_2$と同様に、純粋無限的かつ単純であるという重要な構造的性質を共有する。
• $\mathcal{O}_2$-表現が$\mathcal{Q}_2$に拡張可能な条件を完全に特定し、$\mathcal{O}_2$の2つの生成等長作用素の間の対称的関係を明らかにする。
• 2-adic duality theoremが証明され、$C_0(\mathbb{Q}_2) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$および$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$のクローズド積がモリタ同値であることが示される。
• $\mathcal{Q}_2$と$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$の間の明示的な実現可能双モジュールが構成され、これがモリタ同値性を実装する。
• この双モジュールは、$\ell^2(\mathbb{Z})$上の$\mathcal{Q}_2$の標準的表現を、$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上の標準的表現に移し、ユニタリ同値性を確立する。
• 双対性結果の証明は、クローズド積の間の明示的同型写像を導出しないが、標準的表現を保存する具体的な同値性実装を双モジュールが提供する。